1-Misol. Og’irlik kuchining bir jinsli maydonida harakat etuvchi moddiy nuqta uchun Gamilton-Yakobi tenglamasi quyidagidan iborat

1-Misol. Og’irlik kuchining bir jinsli maydonida harakat etuvchi moddiy nuqta uchun Gamilton-Yakobi tenglamasi quyidagidan iborat.

Bu yerda umumlashgan koordinatalar sifatida nuqtaning dekart koordinatalari qabul etiladi: .
Berilgan tenglamaga nisbatan o’zgaruvchilarni bo’linish(ajralish) usuli qo’llansin.
Yechish. siklik koordinata hisoblanadi, shuning uchun deb olamiz va (1) dan quyidagi xosil bo’ladi;

Agar
(1)
bo'lsa,
(2)
bo’ladi. Lekin
(3)
Endi (2) ning yechimini topamiz; (2) ni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

Bu ifodning ikkala tomonidan bo’yicha xosila olamiz:

Shunday qilib, (3) ning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.

Bundan tashqari
larni nazarda tutib yoza quyidagin yoza olamiz:

Boshlang’ich shartlar: dan foydalanib quyidagini topa olamiz:

Shuning uchun

2-misol. Qo’zg’almas markazdan nuqtagacha bo’lgan masofaga proporsional tortuvchi kuch ta’sirida material nuqtaning tekis harakatini qaraymiz. Koordinatalar sistemasining boshini tortuvchi markazda joylashtiramiz. Dekart x va y koordinatalarni umumlashgan koordinatalar sifatida qabul qilamiz.

Nuqtaning kinetic va potensial energiyalari quyidagi fo’rmulalar bilan ifodalanadi:

Bu yerda m-massa, c-proporsianallik kayfitsenti .


-Gamilton funksiyasi.
Gamilton-Yakobi tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:


Bu yerda deb olib, ya’ni o’zgaruvchilarni ajratib, va larni aniqlash uchun ga asosan oddiy differensial tenglamalarni hosil qilamiz:

Larga asosan hosil qilamiz (kinematik integral ikkita integralga ajraldi):
hosil bo’ladi:

Demak

Bo’lganligi uchun, boshlang’ich shartlarni kiritib o’zgarmaslarni topamiz.

Yoki bulardan

dan:

Shunday qilib, harakat qonuniyati quyidagidan iborat bo’ladi:

Ya’ni trayektoriya ellipsdan iborat; a va -yarim o’qlar.
3-misol. Gamilto’n-Yako’bi tenglamasi yordamida m massali nuqtaning bir jinsli og’irlik kuchi U=-mgz maydondagi harakatining trayekto’riyasi va harakat qonuni vaqt funksiyasi sifatida topilsin.