1-Misol. Og’irlik kuchining bir jinsli maydonida harakat etuvchi moddiy nuqta uchun Gamilton-Yakobi tenglamasi quyidagidan iborat

Yechish. To’g’ri burchakli koordinatalarni Logranj koordinatalari(umumlashgan) sifatida qabul qilamiz:

Kinetik energiya va umumlashgan impulislar quyidagi ifodalar bilan yoziladi:

Gamilto’n H-funksiyasida tezliklarni impulislar bilan almashtirib hosil qilamiz:
H=T-U
X va y siklik koordinatalar, ya’ni
Gamilton funksiyasi tarkibida t vaqt yo’q.
Ko’rinishdagi Gamilton-Yakobi tenglamasini tuzamiz. Quyidagi almashtirishni kiritamiz:

tarkibida x,y-siklik koordinatalar mavjud emas va (1) ni integrallash uchun o’zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanamiz.
deb olamiz

Shunday qilib, Gamilton-Yakobi tenglamasining to’la integralidagi W funksiya quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Endi umumiy integralni tuzamiz:
kinematik integral;
(3) geometrik integral;

Bu tenglamalar silindirik tenglamalarni aks ettiradilar va ularning kesishish chizig’I nuqta trayekto’riyasidan iborat.
Hosil bo’ladi:
ya’ni trayekto’riya oz orqali o’tadigan vertikal tekislikda joylashgan. Bundan kinemaik integral harakat qonuniyatini hosil qilish mumkin:

,
Ya’ni bir jinsli og’irlik kuchi maydonida nuqta harakat qilganda, z koordintasi ga nisbatan propo’rsional ravishda o’zgaradi. lar ixtiyoriy o’zgarmaslar boshlang’ich shartlar yordamida, ya’ni nuqta uch koordinatasi va tezligining uch proyeksiyasini berilishi bilan aniqlanadi.
4-misol. moddiy nuqta F=-cq, c-eguvchanlik kayeffitsiyenti, kuch tasirida erkin garmo’nik tebranma harakat qiladi. Gamilton-Yakobi tenglamasi tuzilsin va yechilsin; garmonik tebranma harakatga olib kelinishi ko’rsatilsin. Yechimlarning ixtiyoriy o’zgarmas sonlari boshlang’ich shartlar yordamida topilsin. Shakil o’zgartirish funksiyaning vaqt va boshlang’ich shartlarga bog’liq ekanligi ko’rsatilsin.
Yechish. q=x Logranj koordinatasi(umumlashgan koordinata) uchun erkin garmonik tebranma harakat sodir bo’layotganda, yoza olamiz:


Bir o’lchovli ko’rinishdagi Gamilton-Yakobi tenglamasini tuzamiz:

Bu tenglama uchun o`zgaruvchilarni ajralishini talab etish (o`zi ajralgan) hojati yo`q va uni birdaniga integrallash mumkin:

q koordinataning o`zgarish qonunuyatini aniqlah uchun kinematik itegralni tuzamiz:
Hosil bo`lgan ifoda erkin tebranma harakat tenglamasi bo’ladi; u yerda

Hosil bo`lgan ifoda erkin tebranma harakat tenglamasi bo`ladi; bu yerda h va t -ixtiyoriy o`zgarmaslarni topish uchun boshlang`ich shartlarni kiritamiz va oraliq integraldan foydalanamiz:



;
Demak, ; bundan to`la energiyani -orqali ifodalaymiz:

h qiymatini tebranish tenglamasiga qo`yib hosil qilamiz:

Endi to`la energiyani Gamilton-Yakobi tenglamasi uchun tuzamiz va ni vaqt va boshlang`ich shartlardan bog`lanishini ifodalaymiz:
; ammo
va (*) dan foydalanib yozamiz:



Shunday qilib: