1-mavzu: O‘zgaruvchi va o‘zgarmas miqdorlar. Funksiya tushunchasi. Funksiyaning berilish usullari, aniqlanish sohasi, grafigi. Elementar funksiyalar, murakkab funksiya. Ketma-ketlik va uning limiti. Dars rejasi

Teorema. {x_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning fundamental bo‘lishi zarur va etarlidir.
Isboti Koshi mezonini qanoatlantiruvchi ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishidan yuqoridagi teoremani qo‘llash natijasida olinadi (o‘quvchiga mustaqil ravishda isbotlashni tavfsiya qilamiz).
Bu teoremaning tatbiqi sifatida umumiy hadi dan iborat bo‘lgan {x_n} , ya’ni 0,1,0,1,… ketma-ketlik yaqinlashuvchi emasligini ko‘rsatamiz.
berilganda uchun

ekanligi ravshandir. Endi, deb faraz qilsak, n har qancha katta olinganda ham

tengsizlikning bajarilmasligi aniqdir. Bu ketma-ketlik uchun Koshi sharti bajarilmas ekan. Demak, u uzoqlashuvchidir.
Teorema. Agar {x_n} ketma-ketlik noldan farqli chekli limitiga (ya’ni limx_n=a0) ega bo‘lsa, u holda, shunday n₀ natural son topiladiki,

o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. uchun shunday n₀ topiladiki, o‘rinli bo‘ladi.
a)
b)
Teorema isbotlandi.
2-natija. Agar {x_n} ketma-ketlik noldan farqli chekli limitga ega bo‘lsa, uning hadlari ma’lum nomerdan boshlab o‘z limitining ishorasi bilan bir xil ishoraga ega bo‘ladi.
3-natija. Agar {x_n} ketma-ketlikning chekli limiti mavjud bo‘lib, biror n₀ nomerdan boshlab

tengsizlik bajarilsa, bo‘ladi.
4-natija. Agar {x_n} va {y_n} ketma–ketliklarning chekli limiti mavjud bo‘lib, biror n₀ nomerdan boshlab

tengsizlik bajarilsa,

o‘rinlidir.
Teorema. Agar {x_n} va {y_n} ketma-ketliklarning chekli limitlari mavjud bo‘lib, limy_n0 bo‘lsa, ning limiti ham mavjud va

tenglik o‘rinlidir.
Isbot. Agar desak, u holda

bo‘lib, yuqoridagi teorema asosida qandaydir n₀ nomerdan boshlab o‘rinli bo‘ladi.
Bundan , ya’ni n₀ dan boshlab chegaralanganligi kelib chiqadi. Undan tashqari, bx_n-a_n cheksiz kichik miqdor bo‘lishini hisobga olsak,

ekanligidan teorema isboti kelib chiqadi.
Ta’rif. Agar {x_n} ketma-ketlik berilgan bo‘lib, ixtiyoriy olingan musbat M son uchun shunday n₀ natural son mavjud bo‘lsaki, o‘rinli bo‘lsa, {x_n} ketma-ketlik cheksiz katta miqdor deyiladi va x_n yoki limx_n= kabi yoziladi.
Bu o‘rinda shuni eslatamizki, “” belgisi sonni emas, balki, sonlarning eng kattasi ham eng kichigi ham mavjud emasligini ko‘rsatuvchi belgini, limx_n= yozuv esa limit cheksizga teng degan ma’noni emas, balki, {x_n} cheksiz katta miqdor ekanligini anglatadi. Ba’zan x_n bo‘lganda {x_n} cheksiz katta miqdor deyish o‘rniga miqdor cheksiz limitga ega deb ataladi. Ammo, bu holda u uzoqlashuvchi hisoblanadi.
Yuqoridagi ta’rifda o‘rniga x_n>M ishlatilsa, musbat cheksiz katta miqdor, x_n<-M ishlatilganda esa, manfiy cheksiz katta miqdor to‘g‘risida so‘z ketadi va bu holda mos ravishda x_n+ yoki x_n - ko‘rinishda yoziladi.
Cheksiz katta miqdorlar ham cheksiz kichik miqdorlarga o‘xshash xossalarga ega, lekin, bunday xossalarni qo‘llashda ehtiyotkorlik talab qilinadi. Masalan, bir xil ishorali cheksiz katta miqdorlarning yig‘indisi cheksiz katta miqdor bo‘ladi, ammo ayrimasi hamma vaqt ham cheksiz katta bo‘lavermaydi.
Bunga misol qilib, umumiy hadlari mos ravishda bo‘lganda ketma-ketliklarni keltirish mumkin.
Haqiqatdan ham,
- cheksiz katta miqdor,
- cheksiz kichik miqdor,
ya’ni cheksiz katta miqdor emas.
Teorema. Agar {x_n} cheksiz katta miqdor bo‘lsa, cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Aksincha, {x_n} cheksiz kichik miqdor bo‘lganda, cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Isbot. {x_n} cheksiz katta miqdor bo‘lsin, u holda M>0 uchun shunday n₀ nomer topiladiki,

bo‘lib,
kelib chiqadi. Endi, desak,
ya’ni cheksiz kichik miqdor bo‘lishini ko‘rish mumkin. Aksinchasi ham shunga o‘xshash isbotlanadi.
Teorema. Monoton (keng ma’noda bo‘lishi ham mumkin) ketma-ketlik har doim chekli yoki cheksiz limitga egadir.
Isbot. Agar monoton ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsa, uning chekli limiti mavjud ekanligi avvalgi teoremada isbotlangandir. Endi, monoton ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘lsin deb faraz qilaylik. Aniqlik uchun bu ketma-ketlik o‘suvchi (kamaymovchi) va yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsin. U vaqtda, olinganda bo‘ladi. Ketma-ketlik o‘suvchiligidan kelib chiqadi. Bu ekanligini ko‘rsatadi.
Xuddi shunga o‘xshash, kamayuvchi (o‘smovchi) quyidan chegaralanmagan ketma-ketlik berilgan bo‘lsa, bo‘lishi ko‘rsatiladi.
Natija. Yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan kamaymovchi (o‘smovchi) ketma-ketlik limitga egadir.
Bu o‘rinda quyidagi mulohazalarni keltirishni lozim topdik. Aytaylik, ketma-ketlik berilgan bo‘lib, uning yordamida umumiy hadlari mos ravishda

kabi aniqlangan , ketma-ketliklar tuzilgan bo‘lsin. Bu o‘rinda, agar ketma-ketlik quyidan (yuqoridan) chegaralanmagan bo‘lsa, shartli ravishda, deb qabul qilish lozimligini aytamiz. Bunday aniqlangan , ( ) ketma-ketlik kamaymovchi (o‘smovchi) bo‘lganligi uchun yuqoridagi 9.2.13-teoremaga ko‘ra uning chekli yoki cheksiz limiti mavjudligi kelib chiqadi. ketma-ketlikning quyi (yuqori) limiti deb ataladi va uning uchun belgilash qabul qilingandir.
Quyidagi tasdiq o‘rinli ekanligini payqash qiyin emas.
Teorema. sonli ketma-ketlik limitga ega bo‘lishi uchun uning quyi va yuqori limitlarining teng bo‘lishi zarur va etarlidir.
Isbotini o‘quvchining o‘ziga qoldiramiz.