1-mavzu. Mavzu. Differensial tenglama. Asosiy tushuncha va ta’riflar. Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi

Operatsion hisob.

Reja:

1. Laplas tasviri va uning ba’zi xossalari.

2. Ba’zi sodda funksiyalarning tasvirlari.

3. Laplas tasvirining ba’zi xossalari.

4. Original - tasvir jadvali.

1. Laplas tasviri va uning ba’zi xossalari.

Faraz qilaylik haqiqiy o’zgaruvchili f (t) funksiyaga chiziqli integral almashtirish vositasida biror kompleks o’zgaruvchili funksiya F(t) mos keltirilgan bo’lsin. Bu holda f(t) funksiyani F(t) funksiyaning originali yoki asl obrazi deyiladi. F(t) funksiyani esa f (t) ning tasviri , obrazi yoki kopiyasi deyiladi.

Ta’rif: Original deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi haqiqiy o’zgaruvchili t ning f (t) kompleks funksiyaga aytiladi.

1. Haqiqiy o’zgaruvchili t ning (t>0) funksiyasi bo’lgan f (t) uzluksiz va istalgan tartibli uzluksiz hosilalarga ega yoki uzilishga ega bo’lsa, uzilish nuqtalari chekli yoki uzilish

nuqtalari bo’lgan oraliqlari ham chekli bo’lishi kerak.

2. t<0 bo’lsa, f(t)º0 bo’ladi.

3. f (t) funksiyaning o’sishi, ko’rsatkichli funksiyaning o’sishidan tez bo’lmaydi, chunki t ga bog’liq bo’lmagan shunday musbat M >0, S_o >0 sonlar mavjudki, " katta t uchun çf(t)ê< bo’ladi.

Bu yerda S_o originalning o’sishi tartibini ko’rsatuvchi son. Agar S_o =0 bo’lsa, original o’zgarmas bo’ladi.

Original f(t) funksiya yuqoridagi 3 ta shartni qanoatlantirganda, kompleks o’zgaruvchi t=s+is ning funksiyasi bo’lgan dt itegralga original f(t) funksiyaning tasviri yoki Laplas almashtirishi yoki Laplas funksiyasi deyiladi va F(t) bilan belgilanadi

F(t)= dt (1)

Original tasvir ko’pincha quyidagicha belgilanadi: F(t) -¸® f(t) yoki f(t) ¬¸- F(t).