1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

1-Ta'rif. Agar, y=f(x) funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo‘lib (x=a nuqtaning o‘zida aniqlanmagan bo‘lishi mumkin) musbat son uchun shunday musbat b sonni ko‘rsatish mumkin bo‘lsaki, x ning a dan farqli va tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha nuqtalar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, x argument a ga intilganda funksiya b limitga intiladi va b son funksiyaning x=a nuqtadagi limiti deyiladi.
Agar b son funksiyaning a nuqtadagi limiti bo‘lsa, quyidagicha yoziladi: yoki x→a da f(x)→b deb yoziladi. Agar x→a da f(x)→b bo‘lsa, u holda y=f(x) funksiyaning grafigida bu quyidagicha tasvirlanadi. tengsizlikdan tengsizlik chiqar ekan, u holda bu, a nuqtadan yiroq bo‘lgan masofada turuvchi barcha x nuqtalar uchun y=f(x) funksiya grafigining M nuqtalari va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan, eni 2 bo‘lgan yo'l (polosa) ichida yotadi (57-chizma) .

57-chizma. 58-chizma.

1. Eslatma. Agar x biror a sondan kichik qiymatlarnigina qabul qilib, shu a songa intilganda f (x) funksiya b₁ limitga intilsa, u holda deb yoziladi va b₁ ga f (x) funksiyaning a nuqtadagi chap limiti deyiladi. Agar x funksiya a dan katta qiymatlarnigina qabul qilsa, u holda deb yoziladi va b₂ funksiyaning a nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi. (58-chizma).
Agar o‘ng va chap limitlar mavjud bo‘lib b₁ = b₂= b bo‘lsa, u holda limitning ta'rifiga ko‘ra a nuqtada limitning o‘zi bo‘ladi .
Misol: ekanini isbotlaymiz. Haqiqatan ixtiyoriy >0
berilgan bo‘lsin; ushbu tengsizlik bajarilishi uchun quyidagi tengsizliklarning bajarilishi zarur:

Shunday qilib, istalgan da x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlari uchun 3x+1 funksiya qiymatining 10 dan farqi dan kichik bo‘ladi. Bu esa x→3 da intilganda funksiyaning limiti 10 demakdir.