1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

4-Teorema: cosx ning hosilasi (cosx)' = -sinx ga teng.
Isboti: (yuqoridagiga o‘xshash, isbot qilinadi, isbot qilish talabalarni o'zlariga topshiriladi)
5-Teorema: tg x ning hosilasi.
ga teng.
6-Teorema: ctgx ning hosilasi. ga teng.
Bu teoremalarni mustaqil isbot qilish ham talabalarning o'zlariga topshiriladi.
4.5.8. Differensiallashning asosiy formulalari jadvali.
Oldingi mavzularda chiqarilgan barcha formulalar va qoidalarni tubandagicha jadval qilamiz.
1) y=const ;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Hosilani funksiyalarni tekshirishga tadbiqi.
Funksiyaning o‘sishi va kamayishi.
Hosila tushunchasini funksiyani o‘sishi va kamayishini tekshirishga tadbiq etamiz.
1-Teorema: 1) agar [a;b] kesmada hosilaga ega bo‘lgan f(x) funksiya shu kesmada o‘suvchi bo‘lsa, uning hosilasi [a,b] kesmada manfiy bo‘lmaydi ya'ni
2) agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz (a,b) oraliqda differensiallanuvchi bo‘lsa va auchun f'(x)>0 bo‘lsa, bu funksiya [a;b] kesmada o‘sadi.
Isboti: Teoremaning birinchi qismini isbotlaymiz.
f(x) funksiya [a;b] kesmada o‘sadi deb faraz qilamiz x ga x orttirma beramiz nisbatni tuzamiz. f(x) o‘suvchi funksiya, shunga ko‘ra
bo‘lganda
bo‘lganda
Ikkala holda ham
Demak, Endi ikkinchi qismini isbotlaymiz. [a;b] oraliqda f'(x)>0 deb faraz qilamiz. [a;b] kesmaga tegishli ikkita ixtiyoriy x₁ va x₂ (x₁< x₂) qiymatini ifodalaymiz. Lagranjning chekli
orttirmalar haqidagi teoremasiga ko‘ra
70-chizma.
Shartga ko‘ra, demak bu esa f(x) o‘suvchi funksiya demakdir. Agar f(x) funksiya [a;b]kesmada kamaysa shu kesmada bo‘ladi. Agar (a,b) oraliqda bo‘lsa [a;b] kesmada f(x) kamayadi.
Funksiya faqat kamayuvchi yoki faqat o‘suvchi bo‘ladigan intervallar monotonik intervallar deyiladi.
Misol: funksiyaning o‘sish va kamayish sohalari topilsin. Hosilani topamiz. x>0 bo‘lsa funksiya o‘sadi. x<0 bo‘lsa funksiya kamaydi (70-chizma)