1-mavzu: Funksiya va uning berilish usullari, funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi, grafigi, algebraik va transsendent funksiyalar. Funksiyaning limiti, limitlar haqida teoremalar, ajoyib limitlar, funksiyaning uzluksizligi

Misol: funksiya berilgan: uning:
1) ixtiyoriy x nuqtadagi va 2) x=5 nuqtadagi hosilasi y' topilsin.
Yechish:
1) argumentning x ga teng qiymatida ga teng. Argument qiymatida ga ega bo‘lamiz.
nisbatni tuzamiz.
Limitga o‘tib, berilgan funksiyadan hosila topamiz.
Demak, funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi hosilasi
2) x=5 da
4.5.3. Hosilaning geometrik va mehanik ma'nosi.
Harakat qiluvchi jismning tezligini tekshirish natijasida, ya’ni mexanik tasavvurlardan chiqib borib, hosila tushunchasiga keldik. Endi hosilaning geometrik ma'nosini beramiz. Buning uchun avval egri chiziqga uning berilgan nuqtasida o‘tkazilgan urinmani ta'riflab berishimiz kerak. Biror egri chiziq va unda tayin M₀ nuqta berilgan bo‘lsin. Egri chiziqda bir M₁ nuqtani olamiz va M₀ M₁ , kesuvchini o‘tkazamiz. Agar M₁ nuqta egri chiziq bo‘yicha M₀ nuqtaga cheksiz yaqinlasha borsa, u holda M₀ M₁, kesuvchi va hokazo vaziyatlarni oladi.
Agar nuqta egri chiziq bo‘yicha istalgan tomondan M₀ nuqtaga cheksiz yaqinlasha borganda kesuvchi ma'lum M₀T to‘g‘ri chiziq vaziyatini egallashga intilsa, u holda bu to‘g‘ri chiziq M₀ nuqtada egri chiziqqa urinma deyiladi (68-chizma).

68-chizma. 69-chizma.
To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida y=f(x) ga mos egri chiziqni qaraylik, x ning biror qiymatida funksiya y=f(x) qiymatga ega. Egri chiziqda x va y ni bu qiymatlariga M₀(x,y) nuqta to‘g‘ri keladi. Argument x ga orttirma beramiz. Argumentning yangi orttirilgan qiymatiga funksiyaning orttirilgan qiymati to‘g‘ri keladi.
Egri chiziqning bunga mos nuqtasi M₁( , ) nuqta bo‘ladi.
M₀ M₁ kesuvchini o‘tkazamiz va uni Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagini bilan belgilaymiz. nisbatni tuzamiz. Shakldan: =tg ekanligi ko‘rinadi. Agar nolga intilsa, u holda kesuvchi M nuqta atrofida aylanadi (69-chizma).
Agar burchak biror limitga intilsa, u holda M₀ nuqtadan o'tuvchi va abssissalar o‘qining musbat yo‘nalishi bilan burchak tashkil qiluvchi to‘g‘ri chiziq izlangan urinma bo‘ladi. Uni burchak koeffitsiyentini topish qiyin emas.
Demak, - (1) ya'ni argument x ning berilgan qiymatida f'(x) hosilaning qiymati f(x) funksiyaning grafigiga uning M₀(x,y) nuqtasidagi urinmaning (ox) o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchak koeffitsiyentiga teng ekan. Hosilaning mehanik ma`nosi tezlikni bildiradi.