1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Darsda yechish uchun topshiriqlar.
I. tenglamaning bo’lganda bo’ladigan xususiy yechimini toping.
II. Quyidagi tenglamalarning umumiy yechimlarini toping.

III. Tenglamani yeching.
1. 2.
3. 4.
5. 6. .
7. 8. 7– MAVZU:
Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Yuqori tartibli chiziqli tenglama deb quyidagi tenglamaga

aytiladi.
(1)
agar f(x)=0 bo’lsa bir jinsli tenglama,
agar f(x)0 bo’lsa bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi.
x[a,b] uchun (1) tenglamada a₀(x)0 bo’lsa, u holda bir jinsli tenglamani
(2)
ko’rinishida yozish mumkin .
(2)ni deb belgilansa, L[y]=0 bo’ladi.
L – n - tartibli chiziqli operator deb atalib, ushbu xossalarga ega:
1.L[cy]=cL[y] c=const,
2.L[y₁+y₂]= L[y₁]+ L[y₂]
Bu xossalarni isboti mos holda va formulalar yordamida isbotlanadi.
Bu xossalarni umumlashtirib,
(3)
formulani yozishimiz mumkin.
Endi ushbu xossalardan foydalanib, bir jinsli tenglama yechimlarining ushbu ikki xossasini isbotlaymiz.
1. Agar funksiya L[y]=0 tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda y=c(x) (c=const) funksiya ham tenglamaning yechimi bo’ladi.
Haqiqatdan ham, L operatorni birinchi xossasiga ko’ra
L[c(x)]=cL[(x)] o’rinli
Demak, (x) tenglamaning yechimi bo’lganligi uchun ixtiyoriy c=const bo’lganda
cL[(x)]=0.
SHartga ko’ra L[₁(x)]=0, L[₂(x)]=0. L – operatorning ikkinchi xossasiga ko’ra
L[₁(x)+₂(x)]=L[₁(x)]+L[₂(x)]=0
Yuqoridagi xossalardan va (3) formuladan foydalansak,
₁(x),₂(x),…,_n(x) funksiyalar L[y]=0 tenglamaning yechimi bo’lsa.
funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo’lishi kelib chiqadi.
VRONSKIY DETERMINANTI
Quyidagi ko’rinishdagi determinantga Vronskiy determinanti deyiladi:

Bu determinant uchun ushbu teoremalar o’rinli.
n – nchi tartibli tenglamani xususiy holi sifatida n= 2 bo’lganda
(4)
tenglamani qaraylik. Bu tenglamani bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uni umumiy yechimi
(5)
ko’rinishida ifodalanadi. (5) ko’rinishidagi formula Ostrogradskiy-Liuvill formulasi deb ataladi.
(5)ni yoyib yozsak
bo’lib, uni ga bo’lsak,
chap tomoni bo’linmani hosilasi formulasini ifodalaydi, unda
tenglikka ega bo’lamiz.
Buni integrallasak,

yoki

ekanligi kelib chiqadi .