1-mavzu. Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Eyler usuli
Bizga quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama (Koshi masalasi) ni
(2)
oraliqdagi boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bo’lsin.
Koshi masalasini Eyler usuli yordamida yechish uchun, dastlab differensial tenglamaning yechimi qidiriladigan kesmani tugun nuqtalar bilan bo’laklarga bo’lamiz. Tugun nuqtalarning koordinatalari formula orqali aniqlanadi. Har bir tugunda echimning qiymatlarini chekli ayirmalar yordamida taqribiy qiymatlar bilan almashtiriladi.
Mahlumki, funksiyaning nuqta atrofidagi Teylor qatoriga yoyilmasini quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu cheksiz qatorning boshidagi ikkita had bilan chegaralanib, birinchi tartibli hosila qatnashgan hadni aniqlash natijasida quyidagi chekli ayirmali formulani hosil qilamiz:
(3)
(2) va (3) dan ekanini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz:
(4)
Hosil qilingan (4) formula Eyler usulining asosiy ishchi formulasi bo’lib, uning yordamida tugun nuqtalarga mos bo’lgan differensial tenglamaning xususiy yechimlarini topish mumkin. Yuqoridagi formuladan ko’rinib turibdiki, yechimni topish uchun yechimnigina bilish kifoya. Demak, Eyler usuli bir qadamli usullar jumlasiga kiradi.
Masalan: quyidagi differensial tenglama boshlang’ich shart

asosida Eyler usulida oraliqdagi sonli yechimini topamiz.
Buning uchun quyidagi ketma – ketlikni bajaramiz.
1. oraliqni 10 ta bo’lakka bo’lamiz:

2. Quyidagi formula yordamida funksiyaning qiymatlarini topamiz.


3.Berilgan diffetentsial tenglamaning yechimi:
Taribiy yechimni aniq yechim bilan solishtirish jadvali.

T.r	Argument x ning qiymati	Aniq yechim	Eyler usulida topilgan yechim	Taqribiy yechim topishdagi xatolik
1	0.1	1.1103	1.1000	0.0103
2	0.2	1.2428	1.2200	0.0228
3	0.3	1.3997	1.3620	0.0377
4	0.4	1.5836	1.5282	0.0554
5	0.5	1.7974	1.7210	0.0764
6	0.6	2.0442	1.9431	0.1011
7	0.7	2.3275	2.1974	0.1301
8	0.8	2.6511	2.4872	0.1639
9	0.9	3.0192	2.8159	0.2033
10	1.0	3.4366	3.1875	0.2491