1-Mavzu: Chiziqli algebra elementlari

1-Teorema. Ekvivalent matritsalarning rangi o‘zaro teng bo‘ladi.
2-Teorema.Agar matritsaning rangi k ga teng bo‘lsa, u holda bu
matritsada k ta chiziqli erkli satr yoki ustun topiladi, qolganlari bu satr
yoki ustunlarlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat, ya’ni elementar
almashtirishlar yordamida bu matritsani k ta satr yoki ustuni noldan farqli,
qolganlari nol bo‘lgan ko‘rinishga keltirish mumkin.
Misol. Ushbu matritsaning rangi hisoblansin

Elementar usulidan foydalanamiz. Birinchi satr va birinchi ustun
kesishgan joyda turgan ”1” dan foydalanib 1- ustundagi barcha elementlarni
nolga aylantiramiz. Buning uchun birinchi satrni (-2), (-3) va (-1) ga
ko‘paytirib mos ravishda 2-, 3- va 4- satrlarga qo‘shamiz:
 ~
Ikkinchi va uchinchi satrlar o‘rnini almashtiramiz va 2- va 2- ustun
kesishgan joyda turgan (-1) yordamida ikkinchi ustundagi undan pastda
turgan elementlarni nolga aylantiramiz. Buning uchun ikkinchi satrni (-3)
ga ko‘paytirib uchinchi va to‘tinchi satrlarga qo‘shamiz:
 ~
Uchinchi satrni (-15) ga to‘rtinchi satrni 16 ga ko‘paytirib 3- va 4-
satrlarni qo‘shamiz

Demak yuqoridagi 1- va 2- teoremalarga asosan berilgan matritsaning
rangi 3 ga teng.
Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish.
Kroneker- Kapelli teoremasi
Yuqorida qaralgan noma’lumlari soni n ta, tenglamalari soni m ta
bo‘lgan (1) sistemani qaraylik. Uning koeffitsentlaridan tuzilgan (2)
matritsa va ozod hadlar qo‘shilishidan hosil bo‘lgan kengaytirilgan
matritsani qaraylik

 , 

Ravshanki rangA ≤ rangB.
Teorema. (Kroneker- Kapelli).YUqoridagi (1) chiziqli tenglamalar
sistemasi birgalikda bo‘lishi uchun bu sistema matritsasi va kengaytirilgan
matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va etarli.
Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda va x₁=k₁, x₂₌k₂,..., x_n=k_nva echimga ega bo‘lsin, uholda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi.

B matritsaning 1- ustunini k₁ ga, 2- ustunini k₂ ga va hokazo n ustunini k_n ga ko‘paytirib oxirgi ustunidan ayiramiz va (8) ni hisobga
olib V ga ekvivalent matritsa hosil qilamiz

Bu matritsaning oxirgi ustunini o‘chirish bilan A matritsaga kelamiz.
Buning elementar almashtirishligini e’tiborga olsak: rangA=rangB.
Yetarliligi. rangA=rangB bo‘lsin. U holda A matritsadagi chiziqli
bog‘liq bo‘lmagan maksimal sondagi ustunlar V matritsada ham chiziqli
bog‘liq bo‘lmaydi. Demak shunday k₁, k₂,..., k_nkoeffitsentlar topiladiki, V
matritsaning oxirgi ustuni bu koeffitsentlarning A matritsa ustunlari
bilan ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. V matritsaning oxirgi ustuni (1)
sistemaning oxirgi ustuni ekanligini hisobga olsak, Bu koeffitsentlar (1)
sistemaning echimi bo‘ladi. Demak A va V matritsalar rangining tengligi bu
sistemaning birgalikda ekanligini keltirib chiqaradi. Teorema isbot
bo‘ldi.
Agar rangA=rangB=n bo‘lsa tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng
bo‘lib sistema yagona echimga ega bo‘ladi.
rangA=rangB=kbo‘lib k₁, k₂,..., k_knoma’lumlar erkli o‘zgaruvchi k_k+1, k_k+2,..., k_nlar orqali
ifodalanadi va sistema cheksiz ko‘p echimga ega bo‘ladi. Agar A va
kengaytirilgan V matritsalar ranglari teng bo‘lmasa, sistema echimga ega
bo‘lmaydi.
Agar (1) sistemada b₁ =b₂=... =b_n=0 bo‘lsa sistema bir jinsli deb
ataladi.

Bu sistema doimo birgalikda, chunki kengaytirilgan V matritsa A
matritsadan elementlari noldan iborat oxirgi ustun bilan farq qiladi va
rangA=rangB. Agar rangA=n bo‘lsa sistema yagona x₁ =0, x₂ =0,..., x_n=0 echimga ega. rangAYUqoridagi (9) sistema nolmas echimga ega bo‘lishi uchun bu sistemaning
asosiy determinanti nolga teng bo‘lishi kerak, bu tasdiq rangAkuchli bo‘ladi.