1-mavzu. Aniq integral Reja

Aniq integralning asosiy xossalarini keltiramiz:
1⁰. Aniq integralning chegaralari almashtirilsa, integralning ishorasi o‘zgaradi:
.
2⁰. Ixtiyoriy uchta va sonlari uchun,

3⁰. O`zgarmas ko`paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:
.
4⁰. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig`indisiining aniq integrali qo`shiluvchilar integrallarining yig`indisiga teng:
.
5⁰. Agar  funksiya  kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda bu kesmada shunday nuqta topiladiki, ushbu nuqtada

tenglik bajariladi. Bu yerda , bo’lib, miqdor funksiyaning kesmadagi o‘rta qiymati deyiladi.
Agar kesmada aniqlangan funksiya berilgan bo‘lsin. Bu yerda hosil bo‘lgan soha egri chiziqli trapetsiya deb ataladi. Yuqoridagilardan ma`lumki bu sohaning yuzi
 
integral bilan aniqlanadi. funksiya  funksiyaning boshlang`ich funksiyasi bo`lishini, ya`ni  ekanligini ko‘rsatamiz.
ayirmani qaraylik, bunda Bu ayirma asosi bo`lgan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng. Agar son kichik bo`lsa, u holda: . Demak,

Bu munosabatda limitga o`tamiz:

tenglik hosil bo`ladi.
funksiyaning istalgan boshqa  boshlang`ich funksiyasi funksiyadan o`zgarmas songa farq qiladi, ya`ni

Nyuton–Leybnits teoremasi.2 Agar funksiya uzluksiz bo‘lib, u  funksiyaning biror – bir boshlang`ich funksiyasi bo`lsa, u holda N`yuton – Leybnits formulasi o`rinli bo`ladi.

Demak aniq integralning geometrik ma`nosi egri chiziqli trapetsiyaning yuzi ekan .
Misol. kesmada aniqlangan egri chiziq, koordinata o‘qi, va to‘g`ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning
(6-rasm) yuzini topamiz. Bunday sohalar egri chiziqli trapetsiya deb ataladi.

Birinchi navbatda funksiyaning aniqmas intagrallaridan birini topib olamiz :
.
Endi sohani yuzini topamiz:
.
Misol. kesmada aniqlangan egri chiziq, koordinata o‘qi, va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzini topamiz. Birinchi navbatda funksiyaning aniqmas integrallaridan birini topib olamiz :
.
Endi sohani yuzini topamiz:
.
Misol. kesmada aniqlangan egri chiziq, koordinata o‘qi, va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzini topamiz. Birinchi navbatda funksiyaning aniqmas integrallaridan birini topib olamiz :
.
Endi sohani yuzini topamiz:
.