1-mavzu. Aniq integral Reja

Mashqlarni bajaring. Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalarning yuzini toping: a) , ; b) , ; a) , .
Aniq integralni aniq hisoblashning asosiy yagona usuli, integral ostidagi funksiya uchun boshlang`ich funksiyani aniqlash va so‘ngra Nyuton – Leybnits formulasini qo‘llashdir. Aniq integralni hisoblashda qo‘llaniladigan boshqa usullar bilan tanishib chiqamiz.
Aniq integralni hisoblash usullari. Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish. Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish quyidagicha amalga oshiriladi:
(4.2.3)
integral berilgan  bo`lib, funksiya kesmada uzluksiz bo`lsin. almashtirish bilan (4.2.3) ifoda o‘zgaruvchiga bog`liq bo‘lgan integralga keladi. Bunda funksiyalar kesmada uzluksiz bo‘lishi kerak. Bu yerda .  Shunday qilib,
.
Misol. integralni hisoblash uchun almashtirish bajaramiz. Bu yerda . U holda:
.
Misol. integralni hisoblash uchun almashtirish bajaramiz. Bu yerda . U holda:
.
Misol. integralni hisoblash uchun almashtirish bajaramiz. Bu yerda . U holda:
.
Mashqlarni bajaring. Quyidagi integrallarni o`zgaruvchilarni almashtirish usulidan foydalanib hisoblang: a) ; b) ; c) .
Aniq integralda bo‘laklab integrallash quyidagicha amalga oshiriladi:
va funksiyalar kesmada differensiallanuvchi funksiyalar bo`lsin. U holda aniq integralda bo`laklab integrallash quyidagi formula
(4.2.4)
bo`yicha amalga oshiriladi.
Misol. ko‘rinishdagi integallarni hisoblashda bo‘laklab integrallash qoidasidan foydalanamiz. Bunda  belgilashlar kiritamiz. U holda,  ifodalar hosil bo`ladi. Endi esa (4) formulani qo‘llaymiz:
.
Misol. ko`rinishdagi integallarni hisoblashda ham bo`laklab integrallash qoidasidan foydalanamiz. Bunda  belgilashlar kiritamiz. U holda,  ifodalar hosil bo`ladi. Endi esa (4) formulani qo`llaymiz:
.
Misol. ko`rinishdagi integallarni hisoblashda ham bo`laklab integrallash qoidasidan foydalanamiz. Bunda  belgilashlar kiritamiz. U holda,  ifodalar hosil bo`ladi. Endi esa (4) formulani qo`llaymiz:
.
Mashqlarni bajaring. Quyidagi integrallarni bo`laklab integrallash qoidasidan foydalanib hisoblang: a) ; b) ;
c) .
Integralni hisoblashni osonlashtiradigan ba`zi xossalarni keltirib o`tamiz:
1) funksiya toq, ya`ni bo`lsa, u holda

2)  funksiya juft, ya`ni bo`lsa, u holda
.