Teńsizlikti dálillewdiń klassik usullari

Teńsizlikti dálillewdiń klassik usullari.

§1. Sanlı teńsizlikler haqqında.

1.Sanlı teńsizlikler hám olardıń ózgeshelikleri.

Tariyp: Eger a – b ayırma oń san bolsa, a sanı b sanınan úlken dep ataladı hám bul qatnas a > b formasında jazıladı. Eger a - b ayırma keri bolsa, a sanı b sanınan kishi dep ataladı hám a < b formasında jazıladı.

Qálegen a hám b sonlar ushın tómendegi ush qatnastan tek birewi orınlı

1. a-b > 0 a > b;

2. a-b < 0 a < b;

3. a-b = 0 a = b.

Sanlı teńsizlikler tómendegi ózgesheliklerge iye:

1. 
   Eger > b hám b > c bolsa a > c boadi. (teńsizlik munasábeti tranzitivlik qásiyeti).
   
2. 
   Eger > b hám c R bolsa a + c > b + c boladı.
   
3. 
   Eger > b hám c 0 bolsa a c > b c boladı.
   
4. 
   Eger > b hám c 0 bolsa a c < b c b boladı.
   
5. 
   Eger > b hám c d bolsa a + c > b + d boladı.
   
6. 
   Eger a > b > 0 hám c > d > 0 bolsa a c > b d boladı.
   
7. 
   Eger a > b > 0 hám n N bolsa aⁿ > bⁿ boladı (n taq san bolǵanda b > 0 shárt artıqsha ).
   

2. Teńsizliklerdi dálillewdıń usılları haqqında.

1-mısal. Qálegen a,b hám c sanlar ushın 2a² + b² + c² + 2a(b + c) ekenligin dálilleń.

Sheshiliwi: Qálegen a,b hám c sanlar ushın (2a² + b² + c²)-2a(b + c) ayırmanı keri emesligin kórsetemiz:

(2a² + b² + c²)-2a(b + c)=

Qálegen sannıń kvadratı keri san bolǵanı ushın 0 ham 0.

Demek, (2a² + b² + c²)-2a(b + c) qálegen a, b hám c sanları ushın keri emes. Sol sebepli berilgen teńsizlik qálegen a, b hám c sanları ushın orınlı. Atap aytqanda, teńlik belgisi a = b = c bolǵandaǵana atqarıladı. ∆

Teńsizliktiń tuwrılıǵın kórsetiw ushın onıń hár eki bóleginiń ayırmasın oń yamasa keriligin anıqlaw, yaǵnıy 1-mısaldaǵı sıyaqlı tariypten paydalanıp dálillewge háreket qılıw ayırım jaǵdaylarda júdá qıyın boladı. Sol sebepli teńsizliklerdi dálillewde teńsizliklerdiń ózgesheliklerinen paydalanıladı.