1-ma’ruza mavzu: Determinantlar Reja

Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa): (matn keltiriladi, matnda asosiy materialdan tashqari, avvalgi mavzularda o’rganilgan tushunchalar, tasdiqlar hamda mashhur olimlar haqida ma’lumotlarni o’zida mujassam qilgan glossariy ham keltiriladi va ma’ruzaning elektron variantida giperssilkalar yordamida ularning ekranda ko’rsatilishi ta’minlanadi).
Mavzuning asosiy mazmuni–ma’ruza muloqot uslubi vositasida talabalarga yetkaziladi.


1. Ikkinchi tartibli determi­nant. Determi­nantning xossalari.


Permutasiyalar. Determinantlar bizga elementar algebradan ma’lum bulgan permutasiyalar (o’rin almashtirishlar) bilan bogliqdir. Istalgan n ta butun musbat sonni, qulaylik uchun, masalan, 1 dan n gacha bo’lgan sonlarni olamiz. Bu raqamlardan (sonlardan) hammasi bo’lib, ta har xil permutasiya (o’rin almashtirish) tuzish mumkin Masalan, 1, 2, 3 raqamlardan, hammasi bo’lib, 3!=1 2 3 = 6ta har xil permutasiya tuziladi: 123, 132, 213, 312, 321.
Inversiyalar. Misol uchun 1,2,3,4,5,6 raqamlarni olaylik. Bu raqamlardan tuzilgan 123456 ko’rinishdagi permutasiya undagi hamma raqamlarning natural qatordagi tartibda joylashishi bilan xarakatlanadi: har bir kichik raqam o’zidan katta raqamning chap tomonida, har bir katta raqam esa o’zidan kichik raqamning o’ng tomonida turadi. Bunday permutasiyani biz tartibli (normal) permutasiya va unda inversiyalar (tartibsizliklar) yo’q deymiz. 463152 da inversiyalar (tartibsizliklar) bor, chunki bunda 4 dan kichik 3,1,2 raqamlar 4 ning ung tomonida, shuningdek, 6 dan kichik 3,1,5,2 raqamlar ham 6 ning o’ng tomonida, so’ngra 1 va 2 raqamlar 3 ning o’ng tomonida va nihoyat, 2 raqami 5 ning o’ng tomonida turadi.
Bularning xammasi inversiyalar(tartibsizliklar)dir.
Permutasiyada nechta inversiya borligi quyidagicha aniqlanadi:
Permutasiyaning har qaysi m raqami o’ng tomonidagi uzidan kichik har bir raqam bilan bitta inversiya tashkil etadi; bu m raqamning tashkil etgan hamma inversiyalari o’ng tomonidagi o’zidan kichik raqamlarning soniga teng. Permutasiyadagi inversiyalarning umumiy soni esa hamma raqamlarga tegishli inversiyalarning soniga teng.
Masalan: 463152 dan iborat permutasiyadagi inversiyalarni sanaylik 4 dan kichik uchta (3, 1 va 2) raqam bor, demak, 4 raqamiga uchta inversiya tegishli. 6 dan kichik turtta (3,1,5,2) raqam bor, 6 raqamiga turtta inversiya tegishli. 3 raqamiga ikkita inversiya tegishli, 1 raqamiga tegishli inversiya yo’q. 5 raqamiga bitta inversiya tegishli. Shunday qilib, bizning permutasiyada hammasi bo’lib 3+4+2+1 = 10 ta inversiya bor ekan. 123456 da inversiyalar soni nolga teng, biz bu permutasiyada nolga inversiya bor deb ataymiz.
1-ta’rif. Permutasiyada inversiyalar soni juft bo’lsa, juft permutasiya, inversiyalar soni toq bo’lsa, toq permutasiya deyiladi.
Normal permutasiya, odatda, juft deb qaraladi, chunki unda nolta inversiya bor, nol esa juft sondir.
Misol. 156234- juft permutasiya (6 ta inversiya bor) 613542 toq permutasiya (9 ta inversiya bor).