1. Функциянинг нуқтадаги лимити тенгсизлик бажарилса, а чекли сон функциянинг нуқтадаги

6-таъриф. Агар функция х нинг етарлича катта қийматларида аниқланган бўлиб, исталган сон учун шундай
мавжуд бўлсаки, тенгсизликни қаноат- лантирадиган барча х лар учун
тенгсизлик бажарилса, А сон
функциянинг даги лимити деб аталади.
Агар А сон функциянинг даги лимити бўлса, бу қуйидагича ёзилади:
Бу таъриф геометрик нуқтаи назардан қуйида-гини англатади: агар исталган сон учун шундай мавжуд бўлсаки, учун функциянинг қийматлари интер- валга тушади (2-шакл).
Мисол. эканини исботланг.
функцияни қарайлик.
Ихтиёрий ни оламиз ва ни ўзгартирамиз:
2-чизма.
Агар ни олсак, у ҳолда барча лар
учун ушбу тенгсизлик бажарилади:
Бундан 1 сон функциянинг
даги лимити бўлиши келиб чиқади.
3. Лимитга эга функциянинг чегараланганлиги.
7-таъриф. интервалда аниқланган
функция учун шундай сон мавжуд бўлсаки, барча лар учун
тенгсизлик бажарилса, у ҳолда
функция интервалда чегараланган деб аталади.
Агар бундай М сон мавжуд бўлмаса, у ҳолда функция бу интервалда чегараланмаган деб аталади.
4-мисол. функция интервалда чегараланган, чунки бу интервалдаги барча x лар учун яъни M=1.
5-мисол. функция x (0,1) интервалда
чегараланмаган, чунки бўладиган M >0 сон мавжуд эмас.
Функциянинг лимити билан унинг чегараланганлиги орасидаги боғланишни белгилайдиган ушбу теорема ўринли.
1-теорема. Агар
A-чекли сон бўлса, у ҳолда функция
a нуқтанинг бирор атрофида чегаралангандир.
4. Бир томонлама лимитлар.
8-таъриф. Агар функциянинг a
нуқтадаги ёки даги лимити таърифида
x ўзгарувчи a дан кичик (яъни ) бўлганича қолса, у ҳолда функциянинг лимити функциянинг нуқтадаги (ёки
даги) чап томонлама лимити деб аталади.
Демак, ҳар бир сон учун шундай
мавжуд бўлсаки, тенгсизликни қаноатлантирувчи барча x лар учун
тенгсизлик бажарилса, сон функция-нинг даги (ёки даги) чап томонлама лимити деб аталади.
функциянинг нуқтадаги чап томонлама лимити бундай белгиланади:
ёки .
Агар бўлса, у ҳолда бундай ёзилади:
, ёки
,
9-таъриф. Агар функциянинг
нуқтадаги ёки x→a даги лимити таърифида
x ўзгарувчи a дан катта (яъни ) бўлганича қолса, у ҳолда функциянинг лимити
нуқтадаги(ёки даги) ўнг томонлама лимити деб аталади.
, ёки ,
ёки
функциянинг нуқтадаги ўнг томонлама лимити бундай белгиланади:
функциянинг нуқтадаги чап ва ўнг томонлама лимитлари бир томонлар лимитлар деб аталади. Бунга тескари даъво
ҳам ўринли. Демак, функциянинг
нуқтадаги бир томонлама лимитлари мавжуд ва улар ўзаро тенг, яъни
бўлганда ва фақат шундагина бу функция а нуқтада лимитга эга бўлади.