1. Ellipsoid va giperboloidlar

2§. Konus va uning kesimlari
Tabrif-3. Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini birorta dekart koordinatalari sistemasida
(4)
ko 'rinishda yozish mumkin bo 'lsa, u konus deb ataladi.Bu tenglamada ,
munosabatlar bajarilishi talab qilinadi. Konus tenglamasidan ko'rinib turibdiki,u koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan,koordinata boshi esa uning simmetriya markazidir.Bundan tashqari,agar M₀(x₀, y₀, z₀) nuqta konusga tegishli bo'lsa, va nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqdagi har bir nuqta konusga
tegishlidir.Haqiqatan ham, bu to'g'ri chiziqqa tegishli nuqta ko'rinishga
ega va bevosita

tenglikni tekshirib ko'rish mumkin.
Konusning har bir yasovchisi bu ellipsni bir marta ( faqat bitta nuqtada) kesib o'tadi.Konusda yotuvchi va bu xossaga ega bo'lgan chiziqlar konusning yasovchisi
deyiladi. Bu ellipslarning markazlaridan o'tuvchi to'g'ri chiziq konusning o'qi deyiladi.
Yuqoridagi kanonik tenglamada konusning o'qi Oz o'qi bilan ustma-ust tushadi.Koordinata boshi ham konusga tegishli,konusning hamma yasovchilari
bu nuqtadan o'tadi. Konusning hamma yasovchilari o'tuvchi nuqta uning uchi deb ataladi.

Chizma-4.
Ta'rif-4. Konusni uning uchidan o 'tmaydigan tekisliklar bilan kesish natijasida hosil bo 'lgan chiziqlar konus kesimlar deyiladi.
Teorema-2. Aylanadan boshqa hamma konus kesimlar tekislikda berilgan nuqtagacha bo'lgan masofasining berilgan to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofasiga nisbati o'zgarmas bo'lgan nuqtalarning geometrik o'rnidir.
Isbot. Konusni atekislik bilan kesganimizda hosil bo'lgan chiziqni у bilan belgilaylik. Konusga ichki chizilgan va a tekislikka urinuvchi sferanining tekislik blan kesishish nuqtasini F bilan belgilaymiz. Ichki chizilgan sfera konusga aylana bo'ylab urinadi. Bu aylana yotuvchi tekislikni со bilan belgilaymiz. Konus kesimga tegishli ixtiyoriy M nuqta olib, undan o'tuvchi yasovchi bilan со tekislikning
kesishish nuqtasini B bilan belgilaymiz. Konus kesimga tegishli M nuqtadan a va со tekisliklar kesishishidan hosil bo'lgan 8 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar o'tkazamiz. Sferaga M nuqtadan o'tkazilgan urinmalar kesmalari bo'lgani uchun FM = BM tenglik o'rinli bo'ladi. Berilgan M nuqtadan со tekislikgacha bo'lgan masofani h(M) bilan belgilasak,

tengliklar o'rinli bo'ladi. Bu yerda tekisliklar orasidagi burchak, -
konus yasovchis va tekislik orasidagi burchak, A nuqta esa M nuqtadan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar asosidir. Yuqoridagi tengliklardan

munosabatni olamiz. Bu munosabatdan ko'rinib turibdiki, nisbat M nuqtaga
bog'lik emas. Teorema isbotlandi.
Konus kesim uchun F nuqta uning fokusi to'hri chiziq esa direktrisa deyiladi. Yuqoridagi nisbat 1 dan kichik yoki teng bo'lganda konus kesimning hamma nuqtalari fokus bilan birgalikda direktrisaning bir tarafida yotadi. Haqiqatdan ham direktrisaning boshqa tarafida yotuvchi M' nuqta uchun

tengsizlik o'rinli bo'ladi. Agar yuqoridagi nisbat 1 dan katta bo'lsa, direktrisaning har ikkala tarafida konus kesimga tegishli nuqtalar bor. Demak, bu holda konus kesim ikki qismdan iborat .
Biz bilamizki, agar bo'lsa konus kesim ellips bo'ladi. Biz III bobda bu faktni isbotlaganmiz. Agar bo'lsa, konus kesim parabola bo'ladi. Konus kesim uchun bo'lsa, u giperbola bo'ladi.
Biz III bobda o'rgangan ikkinchi tartibli chiziqlarning(ellips, parabola va giperbola) har biri ikkinchi teoremaga ko'ra, konusning birorta tekislik bilan kesishishidan hosil bo'lar ekan. Bu faktni algebraik metod bilan isbotlash ham mumkin.
Konusni z = h tenglama bilan aniqlanuvchi tekislik bilan kessak , kesimda yarim o'qlari mos ravishda

kattaliklarga teng bo'lgan ellips hosil bo'ladi. Agar biz konusni
x = h , y = h tenglamalar bilan aniqlangan tekisliklar bilan kessak, kesimda yarim o'qlari mos ravishda

kattaliklarga teng bo'lgan giperbolalar hosil bo'ladi. Konus keimda parabola hosil bo'lishini ko'rsatish uchun, uni tenglama bilan aniqlanuvchi
tekislik bilan kesamiz. Natijada kesimda

tenglama bilan aniqlanuvchi ikkinchi tartibli chiziqni hosil qilamiz.Koordinatalar systemasini almashtirish yordamida bu tenglamani

ko'rinishga keltirsak,uning parabola ekanligini ko'ramiz.

Chizma-5.