1. Ellipsoid va giperboloidlar

Teorema-1. Giperbolik paraboloid chiziqli sirt bo'lib, uning har bir nuqtasidan paraboloidda yotuvchi ikkita to 'g'ri chiziq o 'tadi.
Isbot. Giperbolik paraboloidga tegishliM(x₀,y₀,z₀) nuqtadan o'tuvchi va

tenglamalar bilan aniqlangan to'g'ri chiziq paraboloidda yotishi uchun

tenglik parametrning har bir qiymatida bajarilishi kerak.Bu tenglikni ko'rinishda yozib,undan

tengliklarni hosil qilamiz.Bu tengliklardan yo'nalish uchun

munosabatni hosil qilamiz.Bu erda tenglik bajarilgan. Demak giperbolik
paraboloidning har bir nuqtasidan unda yotuvchi ikkita to'g'ri chiziq o'tadi. Bu to'g'ri chiziqlarning parametrik tenglamalarini
(5)
ko'rinishda yozish mumkin.Bu parametrik tenglamalarda munosabat bajarilsa,

bo'lganda (5)to'g'ri chiziqlar z = 0 tekislikni kesib o'tadi. Bu tekislikda
(6)
tenglamalar bilan aniqlanuvchi to'g'ri chiziqlar ham yotadi. Demak (5) to'g'ri chiziq (6 ) to'g'ri chiziqlarning bittasini kesib o'tadi .Buni aniqlash uchun (5) ifodalarni (6) tenglamalarga qo'ysak

tenglikni olamiz. Demak (5) to'g'ri chiziq
(7)
to'g'ri chiziqni kesib o'tadi. Bu to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini

ko'rinishda yozish mumkin. Yuqoridagi (5) va (7) to'g'ri chiziqlarning kesishish
nuqtada kesishadi va bu nuqtaga parametrning

qiymati mos keladi.
Agar belgilashni kiritib, (5) to'g'ri chiziqning parametrik
tenglamalarini

ko'rinishda yozish mumkin.
Agar bo'lsa, giperbolik paraboloidning (4) tenglamasidan
z₀ = 0 tenglik kelib chiqadi. Demak bu holda (5) to'g'ri chiziq z = 0 tekislikda yotadi. Yuqoridagi keltirib chiqarilgan xossalarni quyidagicha yozishimiz mumkin.