1-amaliy mashg’ulot. Parametrga bo'gliq xosmas integrallarning uzluksizligiga va hosilalarini topishga oid misollar. Parametrga bog'liq integrallarni hisoblash

Teorema. funk­siya to‘plamda uzluksiz, xususiy hosilaga ega va u ham uzluksiz hamda o‘zgaruvchining dan olingan har bir tayin qiymatida

Integral yaqinlashuvchi bo‘lsin.
Agar integral da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham oraliqda hosilaga ega bo‘ladi va

Munosabat o‘rinlidir.
Bu munosabatni quyidagicha ham yozish mumkin:
.
1. Ushbu

Integral hisoblansin.
Bu xosmas integral yaqinlashuchi.Endi berilgan integralni hisoblaymiz.Buning uchun quyidagi

Parametrga bog’liq xosmas integralni qaraymiz.
Ravshanki,

funksiya

to‘plamda uzluksiz,

Xususiy hosilaga ega va u ham uzluksiz funksiya. Quyidagi

Integral esa . da tekis yaqinlashuvchi. Yuqoridagi teoremaga ko‘ra

bo‘ladi.Demak,
.
bo‘lganda, bo‘lib, ya’ni bo‘ladi.
Demak,
.
Bu tenglikda da limitga o‘tib quyidagini topamiz:
.
Shunday qilib, ya’ni

bo‘ladi.
2-misol. Agar oraliqda uzluksiz va integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, ushbu

Frullani formulasini isbotlang.
Faraz qilaylik,

bo‘lsin, u holda uchun


bo‘ladi. Demak,

Oxirgi integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo‘llab, funksiyaning uzluksizligidan foydalanib topamiz:


Shunday qilib,
3-misol. Frullani formulasidan foydalanib, ushbu

integralni hisoblang.
Qaralayotgan integralda bo‘lib, ga teng. Demak,

Mustaqil yechish uchun misollar.

Frullani formulasidan foydalanib quyidagi integrallarni hisoblang
1-misol.

2-misol.

3-misol.

4-misol.