1-amaliy mashg’ulot. Parametrga bo'gliq xosmas integrallarning uzluksizligiga va hosilalarini topishga oid misollar. Parametrga bog'liq integrallarni hisoblash

1.Ushbu

Funksiyaning nuqtadagi hosilasining mavjudligini hamda (3) formula o’rinliligini tekshiring.
Yechish.Faraz qilaylik, funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud bo’lib,(3) formula o’rinli bo’lsin.
U xolda

bo’ladi.
Endi berilgan integralni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib,bevosita hisoblaylik:


bo’lgani uchun

bo’ladi.
Integral ostidagi funksiyaning bo’yicha hosilasi bo’lib,u nuqtada nolga teng.
Demak,qaralayotgan integral uchun (3) formula o’rinli emas. Ma’lumki, (3) formula o’rinli bo’lishining asosiy shartlaridan biri biri funksiyaning uzluksizligidir. Bu funksiyaning (0,0) nuqtada uzlksiz emasligi ravshandir.
2.Ushbu

integralni hisoblang.
Yechish.Faraz qilaylik, bo’lsin.U holda

funksiya hamda

funksiyalar to’rtburchakda uzluksiz ekani ravshandir.
Demak, (3) formulani qo’llash mumkin.
Natijada

bo’ladi.
Bu integralda almashtirishni bajarish natijasida

integralga kelamiz.


Endi
ifodani integrallab topamiz:
bu yerda - ixtiyoriy o’zgarmas son.
da limitga o’tib, oxirgi munosabatdan quyidagini olamiz:

ya’ni:

Integral ostidagi ifoda uzluksiz bo’lgani uchun 1-teoremadan foydalanib

ekanini, ya’ni ekanini topamiz.
Shunday qilib, larda

bo’ladi.
bo’lganda

ekanini ko’rsatish qiyin emas. Demak, qaralayotgan integral da

ga teng.
3.Ushbu

integralni hisoblang.
Yechish. da

bo’ladi.
Demak, =
Integral ostidagi -funksiya
to’plamda uzluksizligidan (5) formulani qo’llash natijasida topamiz:

Shunday qilib,qaralayotgan integral

ekan.