1-amaliy mashg‘ulot. Mavzu

Matritsalar ustida amallar.

A=(a_ij) vaB=(b_ij) matritsalar bir xil o‘lchamli hamda i vaj indekslarining barcha qiymatlari uchuna_ij =b_ij bo‘lsa, bu matritsalar teng deb ataladi.

Matritsalarni qo‘shish, songa ko‘paytirish va bir-biriga ko‘paytirish mumkin.

1. Bir xil o‘lchamliA=(a_ij)vaB=(b_ij)matritsalarinng yig‘indisi deb, o‘sha o‘lchamli elementlari quyidagichas_ij=a_ij+b_ij (i=1,m;j=1,n)aniqlanadigan S=(s_ij)matritsaga aytiladi. Demak, matritsani matritsaga qo‘shish uchun, matritsalarning mos elemenlarini qo‘shish kerak.

1-misol. Berilgan matritsalarning yig‘indisini toping.

,

Yechish.

Ikki matritsaning ayirmasi ham shunga o‘xshash aniqlanadi.

2. A=a_ij matritsaningl songa ko‘paytmasi deb, elementlari quyidagicha aniqlangan o‘sha o‘lchamli D=(d_ij)matritsaga aytiladi.

d_ij=la_ij

Demak, matritsani songa ko‘paytirish uchun, uning barcha elementlarini shu songa ko‘paytirish kerak.

2-misol.Berilgan A matritsani 2 ga ko‘paytiring.

l=2

Yechish.

3. mxko‘lchamli A=(a_ij)matritsani kxno‘lchamli B=(b_ij)matritsa ko`paytmasi deb mxko‘lchamli c=(s_ij)matritsaga aytiladiki, uning elementlari quyidagicha topiladi:

C_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+….+a_ikb_kjvaS=AxV

kabi belgilanadi.

Ta’rifdan ko‘rinadiki, bunda birinchi ko‘paytuvchining ustunlar soni ikkinchi ko‘paytuvchining satrlar soniga teng bo‘lishi shart. Shu sababli matritsalar ko‘paytmasi AB ning ma’noga ega bo‘lishi doimo kelib chiqavermaydi.

holda kvadrat) A matritsa berilgan bo‘lsin, unda biror r ta satr va r ta ustunni ajratamiz. Bu satrlar va ustunlarning kesishmasida turgan elementlar r-tartibli kvadrat matritsa hosil qiladi. Uning determinanti berilgan matritsaning r - tartibli minori deb ataladi. A matritsaning barcha minorlari orasida nolga teng va noldan farqlilari bo‘lishi mumkin.

1-ta’rif. Agar A matritsaning r-tartibli minorlari orasida kamida bittasi noldan farqli bo‘lib, bundan yuqori tartibli qolgan barcha minorlari nolga teng bo‘lsa, u holda A matritsaning rangi r ga teng deyiladi va

rang A=r

deb belgilanadi.

nxm o‘lchovli matritsaning r - tartibli minorlar soni Nquyidagi formula orqali hisoblanadi.

(9)

Misol.

AgarA-5x4 o‘lchovli matritsa berilgan bo‘lsa, uning turli tartibli minorlari soni quyidagicha bo‘ladi:

1) 2-tartibli minorlar soni

2) 3-tartibli minorlar soni

3) 4-tartibli minorlar soni

Yuqoridagidan ko‘rinib turibdiki, 5x4 o‘lchamli matritsa rangini topish uchun60ta 2-tartibli (noldan farqlisi topilguncha), 40 ta3-tartibli determinantni (noldan farqlisi topilguncha) va 5 ta 4-tartibli determinantni tekshirish kerak.Bumurakkabjarayondir, shuninguchunmatritsaranginitopishningqulayroqusulinikeltiramiz. Bu usul matritsani elementar almashtirish tushunchasiga asoslangan. Matritsa elementlari orasida quyidagicha almashtirishlar elementar almashtirishlar deyiladi:

a) satr (ustun)ning barcha elementlarini noldan farqli bir xil songa ko‘paytirish;

b) bir satr (ustun)ning barcha elementlarini biror ko‘paytuvchiga ko‘paytirib, boshqa satr (ustun)ning mos elementlarini qo‘shish;

v) ikkita satr(ikkita ustun)ning o‘rinlarini almashtirish;

g) faqat noldan iborat satrni (ustunni) ya’ni «nol» satr va «nol» ustunni o‘chirish.

Matritsaning rangini topishda bosh diognaldan pastdagi barcha elementlar elementar almashtirish yordamida nolga aylantiriladi. Natijada, hosil bo‘lgan matritsaning bosh diognalida turgan noldan farqli elementlar soni matritsaning rangiga teng bo‘ladi.

Quyidagi teorema bu fikrni tasdiqlaydi:

Teorema. Matritsalar ustida elementar almashtirishlar natijasida uning rangi o‘zgarmaydi.

Misol. Ushbu matritsaning rangini hisoblang.

Elementar almashtirish usulidan foydalanamiz.

Birinchi satrni (-2) ga ko‘paytirib 3-satrga (-1)ga ko‘paytirib 4-satrga qo‘shamiz. Natijada

matritsa hosil bo‘ladi. Yuqoridagi jarayonlarni takrorlab

Bosh diognalda 4 ta noldan farqli element mavjud. Bu elementlarni, elementar almashtirish yordamida 1 ga aylantirish mumkin. Shuning uchun Amatritsaning rangirangA=4gateng.

Misol. matritsaning rangini minorlardanfoydalanib toping.

Yechish. Ikkinchi tartibli minor.

Shuning uchun 3-tartibli minorlarni tekshiramiz.

Demak, berilgan matritsaning rang rangA=3ga teng.