1. Ҳалка таърифи ва мисоллар Таъриф

Таъриф. тўплам (1) ва (2) қўшиш ва кўпайтириш амалларига нисбатан қаралганда ҳосил бўладиган ҳалқага идеал бўйича олинган фактор-ҳалқа дейилади.
ва ҳалқалар бўлсин.
Таъриф. Агар акслантириш учун ушбу
, (3)
, (4)
тенгликлар бажарилса, у ҳолда бу акслантиришга ҳалқалар гомоморфизми дейилади.
Таъриф. Агар акслантириш ўзаро бир қийматли мослик бўлиб, яъни биекция бўлиб, бу акслантириш учун (3) ва (4) тенгликлар ўринли бўлса, у ҳолда бу акслантиришга ҳалқалар изоморфизми дейилади.
Таъриф. гомоморфизм бўлсин. У ҳолда ушбу
(5)
тўпламга гомоморфизмнинг ядроси дейилади.
Теорема 5. ҳалқалар гомоморфизми бўлсин. У ҳолда қисм ҳалқа бўлади, ядро эса идеал бўлади.
Теорема 6. (ҳалқалар гомоморфизми ҳакида). ҳалқалар гомоморфизмининг ядроси бўйича олинган фактор-ҳалқа бу гомоморфизмнинг образига изоморф бўлади:
. (6)
Таъриф. Агар бирoр тўпламда 2 та бинар амал қўшиш ва кўпайтириш аниқланган бўлиб, қўшишга нисбатан тўплам кoммутатив группа бўлса, купайтиришга нисбатан эса тўплам кoммутатив группа бўлса, ҳамда дистрибутивлик шарти бажарилса, у ҳолда бундай систeмага майдон дeйилади.
Таъриф. Агар ушбу шартни қанoатлантирувчи натурал сон мавжуд бўлса, бундай натурал сонларнинг энг кичигига майдоннинг xарактeристикаси дeйилади. Агар бу шартни қанoатлантирувчи натурал сон мавжуд бўлмаса, майдон нoл xарактeристикали дeйилади.
Теорема 7. Агар ҳалқа чекли, коммутатив, биттадан кўп элементли бўлиб, унда нолнинг бўлувчилари бўлмаса, бу ҳалқа майдон бўлади.
Натижа. ҳалқа майдон бўлиши учун туб сон бўлиши зарур ва етарлидир.