1. Ҳалка таърифи ва мисоллар Таъриф

Теорема 3. ҳалқанинг ихтиёрий сондаги қисм ҳалқаларининг кесишмаси қисм ҳалқа бўлади.
Исбот. бўлсин. У ҳолда , .
қисм ҳалқа бўлгани учун , , . Бунга кўра ва бўлади. ■
тўплам ҳалқанинг бирор қисм тўплами бўлсин. ни ўз ичига оладиган энг кичик қисм ҳалқага ёрдамида ҳосил қилинган қисм ҳалқа дейилади. Бундай қисм ҳалқа ҳамиша мавжуд, чунки ни ўз ичига оладиган барча қисм ҳалқалар кесишмаси энг кичиклик шартини қаноатлантиради.


3. Идеал ва фактор-ҳалқа
Идеаллар – группалар назариясидаги нормал қисм группалар аналоги сифатида киритилади. Асосий мақсад фактор-ҳалқа тушунчасини киритиш.
Таъриф. Агар тўплам
1) ҳалқанинг аддитив қисм группаси бўлиб,
2) ва учун ва бўлса,
у ҳолда тўпламга ҳалқанинг идеали дейилади.
Изоҳ. Иккинчи шартга кўра тўплам кўпайтмага нисбатан ёпиқ система. тўплам ҳалқанинг аддитив қисм группаси бўлган учун унда нол элемент бор, демак у бўш эмас экан. Бундан ташқари учун , чунки қисм группа. Демак, тўплам қисм ҳалқа экан.
Таъриф. фиксирланган элемент бўлсин. Ушбу ва тўпламларга элемент ёрдамида хосил қилинган ўнг ва чап бош идеал дейилади. Агар ҳалқа коммутатив бўлса, ўнг ва чап бош идеал ўзаро устма-уст тушади. Бу ҳолда унга элемент ёрдамида ҳосил қилинган бош идеал дейилади.
Мисол. тўплам ҳалқанинг бош идеали бўлади.
Таъриф. Агар ҳалқанинг идеали билан устма-уст тушмаса ва билан устма-уст тушмайдиган бошқа идеалнинг ичида ётмаса, идеалга максимал идеал дейилади.
Теорема 4. ҳалқа ва унинг идеали бўлсин. У ҳолда идеал бўйича тузилган барча ўнг қўшни синфлар тўплами ушбу
, (1)
, (2)
бинар амалларга нисбатан ҳалқа ҳосил қилади.
Бу теореманинг исботини ўқувчига хавола қиламиз.