1-8Mat-19 guruh talabasi Ne'matova Muhayyoning tutash muhitlar fanidan tayyorlagan taqdimoti

1-8Mat-19 guruh talabasi Ne'matova Muhayyoning tutash muhitlar fanidan tayyorlagan taqdimoti

Mavzu: Skalyar, vektor va ikkinchi rang tenzorlarni koordinatalar bo’yicha differensiallash

Reja:

• Tenzorlar haqida tushuncha
• Tenzorlar ustidan amallar
• Ikkinchi rang tenzorlari

Ta’rif. Agar uch o’lchovli fazoda miqdorlar ortogonal koordi-

natalar sistemasini burishda eski va yangi bazislarda

qoida bo‘yicha bog’langan bo’lsa bunday miqdorlarga R- rang tenzorlar

Deyilad.

2 – rang tenzor uch o’lchovli fazoda 3² koordinatalari mavjud

bo’ladi. Ulaming to‘g‘ri va teskari almashish qonunlari quyidagicha

bo’adi:

Tenzorlar ustida amallar:

• Tenzorlar ustida amallar:

Tenzorlarni qo‘shish. Faqat bir xil rangli tenzorlarni

Qo‘shish mumkin va qo‘shishda mos koordinatalari qo‘shiladi.

Tenzorlarni qo‘shish natijasida uning rangi o‘zgarmaydi.

Misol. Masalan, uchinchi rang tenzor quyidagicha qo‘shiladi:

Tenzorlarni ko‘paytirish. A tenzor R1 rangli bo’lb B tenzor

R2 rangli boMsin. Bu tenzorlami ko‘paytirish natijasida R1+R2 rangli C

tenzor hosil bo’ladi.

Misol. A 1 – rang, B 2 – rang tenzorlar bo’sin. Bu tenzorlarni

ko’paytirish natijasida 3 – rang tenzor hosil bo’ladi.

Tenzorni yig’ishtirish. A R – rang tenzor bo’lsin. A tenzor koordinatalarini ikki indeksi bo’yicha qo‘shishga tenzorni yig’ishtirish deyiladi. R – rang tenzorni yig‘ishtirish natijasida R-2 rangli tenzor hosil bo’ladi. Tenzorni yig’ishtirish amali tenzorni Kroneker simvoliga ko‘paytirish va so‘ng ikki indeks bo‘yicha qo‘shish bilan bir xil bo’lgani uchun tenzorni yig’shtirish amalini tenzorni Kroneker belgisiga ko‘paytirishdan hosil qilsa bo’ladi.

• Tenzorni yig’ishtirish. A R – rang tenzor bo’lsin. A tenzor koordinatalarini ikki indeksi bo’yicha qo‘shishga tenzorni yig’ishtirish deyiladi. R – rang tenzorni yig‘ishtirish natijasida R-2 rangli tenzor hosil bo’ladi. Tenzorni yig’ishtirish amali tenzorni Kroneker simvoliga ko‘paytirish va so‘ng ikki indeks bo‘yicha qo‘shish bilan bir xil bo’lgani uchun tenzorni yig’shtirish amalini tenzorni Kroneker belgisiga ko‘paytirishdan hosil qilsa bo’ladi.
• Tenzomi yig’shtirish amalini qo’lash uchun tenzor rangi 2 va undan yuqori bo’lishi kerak. 2 – rang tenzomi yig’ishtirish amaliga tenzorning izi deyiladi va quyidagicha belgilanadi

Ikkinchi rang tenzorni qaraylik. Agar indekslar o‘rnini almash-

• Ikkinchi rang tenzorni qaraylik. Agar indekslar o‘rnini almash-

tirganda koordinatalari o‘zgarmasa, bunday tenzorlarga simmetrik

tenzorlar deyiladi. Indekslar o‘nini almashtirilganda tenzor koordina-

talarining ishorasi teckariga almashsa, bunday tenzorga antisimmetrik tenzor deyiladi:

2 – rang tenzor uchun ham o‘zining invariantlari mavjuddir. Bunday invariant-

• 2 – rang tenzor uchun ham o‘zining invariantlari mavjuddir. Bunday invariant-

lami aniqlash uchun xarakteristik tenglmani kengaytirib yozaylik:

Tenzorni har xil koordinatalar sistemasida yozish mumkin. Tenzor-

ning xos sonlari (xarakteristik tenglama ildizlari) koordinatalar sistema-

siga bog’liq emas, ya’ni skalyar miqdorlardir. Bu esa xarakteristik

tenglamaning koeffitsiyentlari koordinatalar sistemasini burishda o‘zgar-

masligi, ya’ni invariantligini bildiradi. Bu invariantlar quyidagichadir:

Invariantlarni tenzoming xos sonlari orqali ifo ifodalash mumkin: Bu invariantlardan foydalanib yangi invariantlami qurish mumkin:

Tenzor maydonlar uchun ham tenzorlar algebrasining barcha qoidalari saqlanadi.Dekart koordinatalar sistemasini almashtirishda radius vektorning almashish qoidasi har qanday vektoming almashish qoidasi kabi bo’ladi:

Koordinatalarn.

Koordinatalarn.

laming funksiyasi deb qarasak,

ya’ni

Bo’ladi. Teskari almashtirish matritsasi esa

Ko’rinishda bo’ladi

Tenzor maydonning sodda xossalarini keltiramiz.

• Tenzor maydonning sodda xossalarini keltiramiz.

Tenzor maydonni skalyar argument bo’yicha differensiallash tenzor rangini o‘zgartirmaydi. Buning isboti xosila ta’rifidan kelib chiqadi

Tenzor maydonni radius vektor koordinatalari bo‘yicha bir marta differensiallashda uni rangi birga oshad