1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

] Savol, masala va topshiriqlar

405. 
     1) Qanday to‘g‘ri chiziq aylanaga urinma to‘g‘ri chiziq deyiladi?
     

2. 
   Urinmaning qanday xossasini va alomatini bilasiz?
   

405. 
     d — R radiusli aylananing markazidan l to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa. Agar: 1) R = 8 sm, d = 6 sm; 2) R = 10 sm, d = 8,4 sm;
     

2. 
   R = 14,4 dm, d = 7,4 dm; 4) R = 1,6 dm, d = 24 sm; 5) R = 4 sm, d = 40 mm; 6) R = 60 sm, d = 7 dm bo‘lsa, l to‘g‘ri chiziq bilan aylana o‘zaro qanday joylashgan bo‘ladi?
   

405. 
     1) Berilgan (O, R) aylanaga berilgan A nuqtadan o‘tuvchi nechta urin­ma o‘tkazish mumkin?
     

2. 
   Berilgan aylanaga berilgan nuqtadan o‘tuvchi urinma yasang.
   

405. 
     ABCD kvadratning tomoni 8 sm ga va markazi A nuqtada bo‘lgan ayla­naning radiusi 7 sm ga teng. AB, BC, CD va BD to‘g‘ri chiziqlardan qaysi biri shu aylanaga nisbatan kesuvchi bo‘ladi?
     
406. 
     A ylana tashqarisidagi bir nuqtadan unga ikkita urinma o‘tkazilsa, ular- ning o‘sha nuqtadan urinish nuqta- larigacha bo‘lgan kesmalari teng bo‘ladi. Shuni isbotlang.
     

Isbot. A nuqtadan markazi O nuqtada, aylanaga B va C nuqtalar- da urinuvchi ikkita urinmani ko‘rib chiqamiz (192- rasm). AOB va AOC uchburchaklar — to‘g‘ri burchakli hamda ular teng (kateti va gipote- nuzasiga ko‘ra), chunki AO gipotenuza umumiy va OB = OC = R. Uchburchaklarning tengligidan AB = AC ekani kelib chiqadi.

405. 
     Bir aylanaga o‘tkazilgan AB va AC urinmalar orasidagi BAC burchak 60°, BAC siniq chiziqning uzunligi 1 m. B va C urinish nuqtalari ora- sidagi masofani toping.
     
406. 
     Radiusi R bo‘lgan aylanadan tashqaridagi nuqtadan shu aylanaga o‘zaro perpendikular ikki urinma o‘tkazilgan. Har qaysi urinmaning uzunligini toping.
     
407. 
     To‘g‘ri burchakli ACB (ZC = 90°) uchburchakda AB = 10 sm, ZABC = 30°. Markazi A nuqtada bo‘lgan aylana o‘tkazilgan. Bu aylananing radiusi qanday bo‘lganda aylana: 1) BC to‘g‘ri chiziqqa urinadi; 2) BC to‘g‘ri chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lmaydi; 3) BC to‘g‘ri chiziq bilan ikkita umumiy nuqtaga ega bo‘ladi?
     
408. 
     
409. 
     A nuqtadan aylana markazigacha bo‘lgan masofa radiusdan kichik. A nuqta orqali o‘tuvchi ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq berilgan aylanaga nis- batan kesuvchi bo‘lishini isbot qiling.
     
410. 
     ABCD to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan, unda AB = 16 sm, AD = 12 sm (193- rasm). AC, BC, CD va BD to‘g‘ri chiziqlardan qaysi biri radiusi 12 sm li A markazli aylanaga urinma bo‘ladi?
     

Y echilishi. Aylana bilan faqat ... nuq­taga ega bo‘lgan ... shu ... urinma deyiladi.
Agar ... markazidan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa aylana ... teng bo‘lsa, to‘g‘- ri chiziq bilan aylana faqat bitta ... nuqta­ga ega bo‘ladi. Bu shartlar ... to‘g‘ri chiziq uchun bajariladi, demak, ... to‘g‘ri chiziq berilgan ... urinma bo‘ladi.
Javob: ... to‘g‘ri chiziq urinma bo‘ladi.

405. 
     Bir aylanaga o‘tkazilgan AB va AC urinmalar orasidagi BAC burchak 60°, BAC siniq chiziqning uzunligi 22,5 dm. B va C urinish nuqtalari orasidagi masofani toping.
     
406. 
     To‘g‘ri burchakli ACB (ZC = 90°) uchburchakning katetlari AC = 3 sm va BC = 4 sm. Markazi C nuqtada bo‘lgan radiusi 2,4 sm ga teng aylana o‘tkazilgan. Bu aylana bilan AB to‘g‘ri chiziq o‘zaro qanday holatda bo‘ladi?
     
407. 
     O
     36- mavzu.
     markazli va radiusi 8 sm bo‘lgan aylanaga A nuqtadan AB urinma o‘t- kazilgan. A va B nuqtalar orasidagi masofa 16 sm ga teng. AOB bur- chakni toping.
     

AYLANAGA ICHKI CHIZILGAN BURCHAK
Ta’rif. Uchi aylanada yotuvchi, tomonlari esa shu aylanani kesib o‘tuvchi burchak aylanaga ichki chizilgan burchak deyiladi.
194- rasmda ABC burchak aylanaga ichki chizilgan, AnC yoy shu burchak- ning ichiga joylashgan. Bunday holda ichki chizilgan ABC burchak AnC yoyga tiralgan, deb ham aytiladi.
T eorema.
A ylanaga ichki chizilgan burchak o‘zi tiralgan yoyning yarmi bilan o‘lchanadi:
AC.

Isbot. ZABC — O markazli aylananing AC yoyiga tiralgan ichki chizilgan burchak bo‘lsin (195- rasm). Aylana markazining shu ichki chizilgan burchakka nisbatan joylashishining uch holini ko‘rib chiqamiz.1			ГА
1 2"	O \ O	\) V	^O
	/ a ;	^C A	J
с	D	CD

B


B


B


d

1. 
   hol. Aylana markazi ichki chizilgan burchakning tomonlaridan biri, ma- salan, BC tomonda yotadi (195-a rasm). OA radiusni o‘tkazamiz va AOB uchbur- chakni qaraymiz. U teng yonli, chunki OA = OB = R. Demak, ZOBA = ZOAB (teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklari bo‘lgani uchun). Ammo AOC burchak BOA uchburchakning tashqi burchagidir. Uchburchak tashqi bur- chagining xossasiga ko‘ra: ZAOC =ZOBA + ZOAB yoki ZAOC = 2ZABC (1). Ammo AOC — markaziy burchak, uning kattaligi shu burchakka mos AC yoyning burchak kattaligiga teng (32-mavzu). Bu holda AC yoy yarim aylanadan kichik, shuning uchun markaziy burchak xossasiga ko‘ra: ZAOC = wAC (2).
   

(1) va (2) tengliklardan ega bo‘lamiz: 2ZABC = wAC, ya’ni ZABC = ¹ wAC.
Teorema 1- hol uchun isbotlandi.

2. 
   hol. Aylananing markazi O ichki chizilgan burchak tomonlari orasida yotadi. BO nurni o‘tkazamiz, u AC yoyni biror D nuqtada kesadi (195-b rasm). D nuqta AC yoyni ikkita wAD va wDC yoyga bo‘ladi. Demak, isbot qilinganga
   

ko‘ra (1-hol): ZABD = ¹ wAD va ZDBC = 2wDC. Bu tengliklarni hadma-had qo‘shib, hosil qilamiz:
ZABC = ZABD + ZDBC = 1 u AD + 2 u DC = 2(uAD + uDC) = 2 u AC.

3. 
   hol. Aylananing markazi O ichki chizilgan burchakdan tashqarida yotadi. Bu holning isbotini 195-d rasmdan foydalanib, o‘zingiz mustaqil bajaring.
   

1. 
   natija. Bir yoyga tiralgan hamma ichki chizilgan burchaklar o‘zaro tengdir (196-a rasm):
   

ZB =ZB₁ = ZB₂ = ... = ¹ wAC.

2. 
   natija. Diametrga (yarim aylanaga) tiralgan hamma ichki chizilgan bur­chaklar to‘g‘ri burchakdir (196-b rasm):
   

ZB = ZB₁ = ZB₂ = ... = 90°.
Masala. Aylananing radiusiga teng vatar o‘tkazilgan. Shu vatar: 1) aylana markazidan; 2) berilgan vatar uchlaridan farqli aylananing ixtiyoriy nuqtasidan qanday burchak ostida ko‘rinadi?





Yechilishi. AB — O markazli aylananing radiusiga teng vatar bo‘lsin (197- rasm). U holda AOB uchburchak — teng tomonli, va demak, markaziy bur- chak (aylana markazidan AB vatar ko‘rinadigan burchak) 60° ga teng. A va B nuq- talardan farqli aylananing ixtiyoriy C nuqtasidan ichki chizilgan ACB burchak (C nuqtadan AB vatar ko‘rinadigan burchak) markaziy burchakning yarmiga, ya’ni 30° ga teng.
Javob: 1) 60°; 2) 30°.
] Savol, masala va topshiriqlar

405. 
     1) Qanday burchak aylanaga ichki chizilgan burchak deyiladi?
     

2. 
   Ichki chizilgan burchak qanday o‘lchanadi?
   
3. 
   Yarim aylanaga tiralgan ichki chizilgan burchak nimaga teng?
   

405. 
     AB va AC — aylana vatarlari, ZBAC = 70°, wAB = 120°. AC yoyning gra­dus miqdorini toping.
     
406. 
     HAD, HBD, TCE va HPD burchaklardan qaysi biri ichki chizilgan burchak bo‘ladi (198- rasm)? Bo‘sh joylarga mos javoblarni yozing.
     

Y echilishi. Ichki chizilgan burchak deb, uchi ... yotadigan, tomonlari esa aylanani ... burchakka aytiladi.
A nuqta aylanada yotadi, HAD burchakning tomonlari aylanani .... Demak, ... burchak ichki ... .
B nuqta ... yotadi, HBD burchakning tomon­lari aylanani .... Demak, ... burchak ....
C nuqta ..., TCE burchakning CE tomoni aylanani .... Demak, TCE ichki ... burchak emas.
P nuqta ..., demak, HPD burchak ichki ... emas.
Javob: ... va ... ichki chizilgan burchaklardir.

405. 
     Aylanada AB diametr va AC vatar o‘tkazilgan. Agar AC va CB yoylar- ning gradus o‘lchovi 7 : 2 kabi nisbatda bo‘lsa, BAC burchakni toping.199- rasmda O nuqta — aylana markazi, ZAOB = 88°. ZACBni toping. Bo‘sh joylarga mos javoblarni yozing.
     

Yechilishi. AOB burchak berilgan aylananing ... burchagi bo‘ladi va ...° ga teng. Demak, wADB =...°. ACB burchak ... chizilgan burchak
1
bo‘ladi va ... yoyga tiraladi,
Javob : ZACB = ...°.

405. 
     AB va BC — markazi O nuqtada bo‘lgan aylananing vatarlari, ZABC = 30°. Agar aylana radiusi 10 sm ga teng bo‘lsa, AC vatarning uzunligini toping.
     
406. 
     200- rasmda wCAB = 130°. ZCABni toping.
     

Yechilishi. CAB burchak aylanaga ichki chizilgan burchak bo‘ladi va ^CDB yoyga tiralgan. wCDB = 360°— ^CAB = 360° — 130° = 230°,
2 = 2
Javob: ZCAB = 115°.
s
ZCAB =

230° = 115°
huning uchun ZACB = —

405. 
     A, B va C nuqtalar markazi O nuqtada bo‘lgan aylanada yotadi. Agar:
     

1. 
   ZABC = 70°; 2) ZABC = 180°; 3) ZABC = 210° bo‘lsa, aylananing markazi AC kesmada yotadimi?
   

405. 
     Vatar aylanani ikki yoyga bo‘ladi. Agar bu yoylar burchak kattalik- larining nisbati: 1) 5:4; 2) 7:3 kabi bo‘lsa, vatar aylana nuqtasidan qanday burchak ostida ko‘rinadi?
     
406. 
     201- rasmda ZAPE = 46°, ZBCE = 34°. ZAEP ni toping.
     

Yechilishi. PAB va BCP ichki chizilgan burchaklar bitta BP ..., demak, ZPAB = Z... = ... . AEP uchburchakdan quyidagiga ega bo‘lamiz:
ZAEP = 180° - (Z... + Z...) = 180° - (... + ...) = ....
Javob: ZAEP = ... .

405. 
     Aylana beshta teng yoyga bo‘lingan: wAB = wBC = wCD = wDE = wEA. Shu aylanaga ichki chizilgan BAC, BAD, BAE, CAE va DAE burchak- larning kattaliklarini toping.
     
406. 
     A ylanani 3 : 5 nisbatda bo‘luvchi vatarning biror uchidan o‘tkazilgan diametr bilan tashkil etgan burchakni toping.
     

ICHKI CHIZILGAN AYLANA

1. 
   A
   37- mavzu.
   ylanaga tashqi chizilgan ko‘pburchaklar.
   

Ta’rif. Agar ko‘pburchakning hamma tomon­lari aylanaga urinsa, ko‘pburchak aylanaga tashqi chizilgan deyiladi, aylana esa shu ko‘pburchakka ichki chizilgan aylana deyiladi (202- rasm).
\ у
Ko‘pburchakka ichki chizilgan aylana markazi­dan uning tomonlarigacha bo‘lgan masofa aylana radiusiga teng. Demak, uning markazi ko‘pburchak- ning hamma tomonlaridan teng masofada joylashgan (203- rasm).

2. 
   Uchburchakka ichki chizilgan aylana.
   

T eorema.
Har qanday uchburchakka ichki aylana chizish
mumkin.
Isbot. ABC ucburchakni ko‘rib chiqamiz. Uning A va B uchlaridan mos ravishda a va b bissektrisa- larini o‘tkazamiz (204- rasm). Ular biror O nuqtada kesishadi. O nuqta — ichki chizilgan aylananing mar- kazi ekanini isbotlaymiz. Buning uchun ABC uchbur- chakning tomonlariga tushirilgan OD, OF va OE per- pendikularlarning tengligini yoki O nuqta uchburchak tomonlaridan teng uzoqlikda yotganini ko‘rsatish yetarlidir. Haqiqatan ham, O e a bo‘lgani uchun,
OD = OF bo‘ladi, shuningdek, O e b bo‘lgani uchun OD = OE bo‘ladi. Demak, O nuqta ABC uchbur­chakning hamma tomonlaridan teng uzoqlikda yotadi. Shuning uchun, OF = OE bo‘ladi, bundan
O nuqta — C burchakning bissektrisasi c da ham
yotishi kelib chiqadi. Shunday qilib, uchala bissektrisa bitta O nuqtada kesishar ekan. Markazi O nuqtada va R = OD = OF = OE radiusli aylana izlanayotgan ichki chizilgan yagona aylana bo‘ladi. Bissektrisalar yolg‘iz bitta nuqtada kesish- gani uchun bundan boshqa ichki chizilgan aylana bo‘lishi mumkin emas.
H