Bog'liq Geometriya. 8-sinf (2014, A.Rahimqoriyev, M.To\'xtaxo\'jayeva)
Tarixiy ma’lumotlar « 184 B F A
Bilki, — deb yozadi Xorazmiy, — har bir togW burchakli uchburchak shundayki, agar kichik tomonlarining har biri o Z-o Zga ko paytirilsa va bu ko - paytmalar qoShilsa, bu katta tomonining oZ-oZga kopaytmaszga teng boladi». Buni isbotlash uchun Xorazmiy ABDC kvadrat shakl yasaydi (184- rasm). Uning AC tomonini E nuqtada teng ikkiga bo‘lib, unga Eg perpendikular o‘tkazadi. AB ni F nuqtada teng ikkiga bo‘- lib, unga FH perpendikular o‘tkazadi. U holda ABDC shakl to‘rtta o‘zaro teng shakl- lardan iborat bo‘ladi. So‘ngra EF, FG, GH,
HE chiziqlarni o‘tkazib, sakkizta o‘zaro teng uchburchaklar hosil qiladi. AF chiziqning o‘z-o‘ziga ko‘paytmasi bilan AE chiziqning o‘z-o‘ziga ko‘paytmasi birgalikda to‘rtta o‘zaro teng uchburchaklar yuzlarini hosil qiladi. FE chiziqning o‘z-o‘ziga ko‘payt- masi ham xuddi shunday o‘zaro teng uchburchaklar yuzlarini tashkil etadi. Isbot ana shundan iboratdir.
1. Ayalana haqida boshlang‘ich ma’lumotlar.
Ta’rif. Tekislikning berilgan nuqtadan bir xil masofaga uzoqlashgan barcha nuqtalaridan iborat shakl aylana deyiladi. Aylana tekislikda berilgan O nuqtadan baravar uzoqlikda joylashgan nuqta- lardan tuzilgan. Berilgan O nuqta aylananing markazi deyiladi. Aylananing ixtiyoriy nuqtasini uning markazi bilan tutashtiruvchi kesma aylananing radiusi deyiladi. Aylana nuqtasini uning markazi bilan tutashtiruvchi har qanday kesma radius bo‘ladi. Odatda, O markazli va R radiusli aylana quyida- gicha belgilanadi: (O, R) (185-a rasm). A ylananing ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma vatar deyiladi. Aylananing markazidan o‘tuvchi vatar uning diametri deyiladi (185-b rasm).
2. Markaziy burchak.
f N Ta’rif.Uchi aylananing markazida bo‘lgan burchak markaziy burchak deb ataladi. Umumiy uchi aylananing O markazida bo‘lgan ikki nur OA va OB ikkita markaziy burchakni belgi- laydi. Aylanadagi A va B nurlar uni ikki yoyga ajratadi. Bu yoylarni bir-biridan farq qilish uchun har birida bittadan oraliq nuqta (yoyning uchlaridan farqli) yoki lotincha kichik harf bilan belgilanadi hamda ACB (yoki AnB) va ADB (yoki ApB) yoylar
haqida gapiriladi (186- rasm). Bu yoylarni bunday belgilash qabul qilingan: wACB (yoki wAnB) va wADB (yoki wApB). Ayrim hollarda yoy oraliq nuqtasiz belgilanadi: wAB (ikki yoydan qaysi biri haqida gap ketayotgani ma’lum bo‘l- ganda). Agar yoyning uchlarini tutashtiruvchi kesma aylana diametri bo‘lsa, yoy yarim aylana deyiladi. 187-b rasmda ikkita yarim aylana tasvirlangan, ulardan biri alohida ajratib ko‘rsatilgan. Aylana yoyining burchak kattaligi.
Ta’rif. Aylana yoyining burchak kattaligi deb, aylananing shu yoyga mos markaziy burchagining kattaligiga aytiladi. Aylana yoyini graduslarda o‘lchash mumkin. Agar O markazli aylananing ACB yoyi yarim aylanadan kichik yoki yarim aylanaga teng bo‘lsa, u holda uning gradus o‘lchovi AOB markaziy burchak gradus o‘lchoviga teng hisoblanadi (187-a, b rasm). Agar ACB yoy yarim aylanadan katta bo‘lsa, u holda uning gradus o‘lchovi 360° — ZAOB ga teng hisoblanadi (187-drasm). Bundan, oxirlari umumiy bo‘lgan aylana ikki yoyining gradus o‘lchovlari yig‘indisi 360°ga tengligi kelib chiqadi. Ma’lumki, ikki burchakning kattaliklari teng bo‘lganda va faqat shundagina u burchaklar teng bo‘ladi. M asala.O nuqta — aylana markazi, ZAOB = 115°, wBC = wAB (188- rasm). AOCburchakni toping. Yechilishi.AOB burchak aylananing markaziy burchagi, AB yoy yarim aylanadan kichik, shuning uchun wAB =ZAOB = 115°. Masala shartiga ko‘ra, wBC = wAB, va demak, BC yoy 115° ga teng. wABC = wAB + wBC = 230° > 180°, ya’ni ABC yoy yarim aylanadan katta, shuning uchun ZAOC = 360° - wABC = 360° - 230° = 130°. Javob:ZAOC = 130°. Aylana ikki yoyining burchak kattaliklari (ya’ni ularga mos markaziy burchaklar) teng bo‘lganda va faqat shundagina bu yoylar teng bo‘ladi.
Savol, masala va topshiriqlar 1) Aylana nima? Uning markazi, radiusi nima? Aylananing vatari nima? Qanday vatar diametr deb ataladi?
Markaziy burchak nima?
Aylana yoyi qanday belgilanadi? Aylana yoyining burchak kattaligi nima? 1) Berilgan aylana yoyini teng ikkiga qanday qilib bo‘lish kerak?
2) Aylanani to‘rtta teng yoyga qanday qilib bo‘lish kerak? Berilgan aylananing markazidan o‘tuvchi ikki to‘g‘ri chiziq bu aylanada nechta yoyni va nechta markaziy burchaklarni aniqlaydi?
2 4 7 5 Markaziy burchakka mos yoy aylananing: 1) —; 2) ; 3) ; 4) 9;
13 17 23 —; 6) —; 7) — qismiga teng. Shu markaziy burchakni toping.
18 20 30 Aylana ikki nuqta bilan ikki yoyga bo‘linadi. Agar: 1) ulardan birining burchak kattaligi ikkinchisining burchak kattaligidan 40° ortiq bo‘lsa, har qaysi burchak kattaligi qanday bo‘ladi? 2) bu yoylarning burchak kattaliklari 2 va 7 sonlariga proporsional bo‘lsa-chi?
A, B, C nuqtalar markazi O nuqtada bo‘lgan aylanada yotadi. Agar vABC = 70° bo‘lsa, AOC burchakni toping.
tashkil qiluvchi AB yoyiga mos keluvchi markaziy burchaklar necha gra- dusli bo‘ladi? Bu hollarning har birida AB yoyning burchak kattaligini belgilar yordamida yozing.
34- mavzu.
AYLANA VATARI VA DIAMETRINING XOSSALARI
teorema.
Vatarga perpendikular diametr shu vatarni va unga tiralgan yoyni teng ikkiga bo‘ladi. I sbot. Markazi O nuqtada va radiusi R bo‘lgan aylana berilgan. AB — aylana vatari va CD — vatarga perpendikular diametr bo‘lsin (189- rasm). AP = PB va vAD = vDB ekanini isbot qilishimiz kerak. Buning uchun OA va OB radiuslarni o‘tkazamiz. Hosil bo‘lgan AOB — teng yonli uchburchak, chunki OA = OB = R. Demak, OP — teng yonli uchburchak uchidan AB asosga tushirilgan balandlik. Shuningdek, u uchbur- chakning medianasi va bissektrisasi bo‘ladi. OP — me- diana bo‘lgani uchun AP = PB. Uning bissektrisa eka- nidan ZAOP = ZBOP ni hosil qilamiz. Bu burchaklar tiralgan yoylar bo‘lgani uchun vAD = vDB. Teorema isbot bo‘ldi.
2- teorema. Aylana vatari uning diametridan katta bo‘lmaydi. Isbot.OPB uchburchak — to‘g‘ri burchakli (189- rasmga q.). Bu uchburchakda OB — gipotenuza, PB — katet. Ma’lumki, katet gipotenuzadan katta emas, ya’ni PB m OB. Bundan esa 2PB m 2 OB hamda 2PB = AB va 2 OB = 2R = D ekanidan AB m D ekanligi kelib chiqadi. natija. Vatarning o‘rtasidan o‘tuvchi diametr shu vatarga perpendi- kulardir.
natija. Vatarning o‘rta perpendikulari aylananing diametri bo‘ladi.
