|
ashqi chizilgan aylananing markazi uchburchakning tomonida yotsa, u qanday uchburchak bo‘ladi?
ABC uchburchakda ZA = 40°. Agar unga tashqi chizilgan aylananing markazi AC tomonda yotsa, uchburchakning qolgan burchaklarini toping (211- rasm). Bo‘sh joylarga mos javob- larni yozing.
Yechilishi. A, B va ... nuqtalar berilgan ... yotadi, uning markazi O nuqta esa ... kesmada yotadi, u holda AC — berilgan aylananing ...,
B burchak esa bu aylanaga ... va u ... tiralgan.
Shuning uchun ZB = ..., ZC = 180° - (40° + ...) = ... - ... = ....
Javob: ZB = ..., ZC = ... .
Aylananing radiusi: 1) 10 sm; 2) 2,4 sm. Shu aylanaga ichki chizilgan teng tomonli uchburchak medianasining uzunligini toping.
To‘g‘ ri burchakli ABC (ZB = 90°) uchburchakka tashqi aylana chizilgan. Agar: 1) AB = 12 sm, bC = 16 sm; 2) AB = 20 sm, ZC = 30°; 3) BC = 8 sm, ZC = 60° bo‘lsa, shu aylananing radiusini toping.
Ketma-ket olingan burchaklarining nisbati: 1) 3, 5, 3, 1; 2) 4, 7, 6, 1 sonlarning nisbati kabi bo‘lgan to‘rtburchakka tashqi aylana chizish mumkinmi?
To‘g‘ ri to‘rtburchakning kichik tomoni 6 sm, diagonallari orasidagi burchak esa 60° ga teng. Tashqi chizilgan aylana radiusini toping.
Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning ikkita burchagi 70° va 95° ga teng. To‘rtburchakning qolgan ikki burchagini toping.
mavzu. AYLANANI KESUVCHI TO‘G‘RI chiziqlardan HOSIL BO‘LGAN BURCHAKLARNI O‘LCHASH
Urinma bilan vatardan tuzilgan burchak.
teorema.
Urinma bilan vatardan tuzilgan burchak o‘z ichiga olgan yoyning yarmi bilan o‘lchanadi.
I sbot. AB urinma va BC vatar bo‘lsin. ZABC=
= 0,5 wBmC ekanini isbot qilamiz (212- rasm). Bu- ning uchun C uchidan CD || AB ni o‘tkazsak,
ZABC = ZBCD, chunki ular ichki almashinuvchi burchaklar. Ammo ZC = 0,5 wBnD va CD|| AB bo‘l- gani uchun wBnD = wBmC va ZB = ZC = 0,5 wBnD =
= 0,5 wBnD = 0,5 wBmC.
Ikkita vatarning kesishishidan hosil bo‘lgan burchaklar.
teorema.
Ixtiyoriy ikkita vatarning kesishishidan hosil bo‘lgan har qaysi vertikal burchak ularning tomonlari tiralgan yoylar yig‘indisining yarmiga teng.
Isbot.ZABC — CD va AE vatarlarning kesishishidan hosil bo‘lgan burchaklardan bittasi bo‘lsin (213-rasm). ZABC = 0,5 (wAC + wDE) ekanini is- botlaymiz. Buning uchun A va D nuqtalarni birlash- tiramiz, u holda ZABC — AABD ga nisbatan tashqi
burchak bo‘ladi. Demak, ZABC =ZADC +ZDAE. Ammo ZADC = 0,5 wAC va ZDAE = 0,5 wDE. Shuning uchun
ZABC = 0,5 wAC + 0,5 wDE = 0,5 (wAC + wDE).
ZABD =ZCBE = 0,5 (wAD + wCE) ekani xuddi yuqoridagidek isbotlanadi. Bu o‘zingizga havola qilinadi.
Aylananing tashqarisidagi bir nuqtadan unga o‘tkazilgan ikki kesuvchi orasidagi burchak.
teorema.
Aylananing tashqarisidagi bir nuqtadan unga o‘tkazilgan ikki kesuvchi orasidagi burchak (ABC) kesuvchilar orasidagi yoylar (AC va DE) ayirmasining yarmiga teng.
Isbot. B — aylana tashqarisidagi nuqta, BA va BC kesuvchilar bo‘lsin. ZB = 0,5 (wAC — wDE) bo‘lishini isbotlaymiz. Buning uchun A va E nuqtani bir- lashtiramiz (214- rasm). ZAECburchak AAEB ga tashqi burchak bo‘ladi. Demak, ZAEC =ZB + ZDAE, bundan ZB = ZAEC-ZDAE. Ammo bu tenglikning o‘ng
tomonidagi burchaklar ularga mos AC va DE yoy- laming yarmi bilan o‘lchanadi, ya’ni ZAEC = 0,5 wAC va ZDAE = 0,5 wDE Va demak, ABC burchak ham bu yoylarning yarmi bilan o‘lchanadi:
Z B = 0,5 wAC- wDE = 0,5 (wAC- wDE).
Demak, ZB = 0,5 (wAC- wDE).
Shuni isbotlash talab qilingan edi.
Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan unga o‘tkazilgan ikki urinma orasidagi burchak.
t e o r e m a.
Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan unga o‘tkazilgan ikki urinma orasidagi burchak 180° bilan urinish nuqtalarini o‘z ichiga olgan yoylardan kichigining ayirmasiga teng bo‘ladi.
Isbot. Aylana tashqarisidagi bir nuqtadan o‘tkazilgan ikki kesuvchi orasidagi burchakni o‘lchash haqidagi 3-teoremaga asosan (192- rasmga q.):
ZA = 0,5 (wBDC - wBC) = 0,5 (360° - wBC - wBC) = 180° - wBC, demak, ZA = 180° - wBC bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
Savol, masala va topshiriqlar
1) Urinma bilan vatardan tuzilgan burchak qanday o‘lchanadi? Ikki vatarning kesishishidan hosil bo‘lgan burchaklar-chi?
Ikki kesishuvchi vatar orasidagi burchak nimaga teng?
Bir nuqtadan o‘tkazilgan ikki urinma orasidagi burchak nimaga teng?
Aylana radiusiga teng AB vatar A nuqtada o‘tkazilgan urinma bilan qanday burchaklar hosil qiladi?
AB vatar 56° li yoyni tortib turadi. Shu vatarning uchlaridan aylanaga o‘tkazilgan urinmalar bilan vatardan hosil bo‘lgan burchaklarni toping.
AB kesma aylananing diametri, BC va AD vatarlar esa o‘zaro parallel.
CD vatar diametr bo‘lishini isbotlang.
Aylanadan tashqaridagi nuqtadan o‘tkazilgan ikki urinmaning urinish nuqtalari aylanani: 1) 1:9; 2) 4: 15; 3) 7:11; 4) 3 : 7 nisbatdagi ikkita yoyga ajratadi. Urinmalar orasidagi burchakni toping.
Aylanani kesuvchi ikki vatari orasidagi burchaklardan biri 70° ga teng. Shu burchakka qo‘shni bo‘lgan burchaklarning yig‘indisini toping.
O markazli aylananing AB va CD vatarlarining davomi P nuqtada kesi-
shadi (215- rasm). ZP = 2(ZBOD - ZAOC) ekanini isbotlang.
216- rasmlarda tasvirlangan x noma’- lum burchakni toping.
A B va CD — bir aylananing vatarlari, P — ularning kesishish nuqtasi. Agar BPD burchak BPC burchakdan 4 marta katta, CDA burchak esa BPC dan 26° ga katta bo‘lsa, CBP burchakni toping.
Aylananing A, B va C nuqtalari uni: 1) 11:3:4; 2) 14: 6: 4;
13 : 12 : 5; 4) 17 : 10 : 9 nisbatdagi yoylarga bo‘ladi. A, B va C nuq- talardan urinmalar o‘tkazilib, bir-biri bilan kesishguncha davom etti- rilgan. Hosil bo‘lgan uchburchakning burchaklarini toping.
1) 52°; 2) 74°; 3) 104° li markaziy burchak tashkil etgan ikki radiusning uchlariga o‘tkazilgan urinmalar orasidagi burchakni toping.
Aylanani: 1) 2:7; 2) 4:5 nisbatda bo‘luvchi vatarning uchlaridan ikkita urinma o‘tkazilgan. Hosil bo‘lgan uchburchakning burchaklarini toping.
B nuqtadan aylanaga o‘tkazilgan BA va BC urinmalar aylanani urinish nuqtalarida: 1) 5:4; 2) 12 : 6; 3) 9 : 6; 4) 13 : 7; 5) 2:3 nisbatda ikki yoyga bo‘ladi. ABC burchakning miqdorini toping.
4- § ga doir qo‘shimcha mashqlar
M, N, P nuqtalar markazi O nuqtada bo‘lgan aylanada yotadi. Agar wMNP = 96° bo‘lsa, MNP burchakni toping.
O markazli aylananing radiusi 20 ga teng. Agar: 1) ZAOB = 60°; 2) ZAOB = 90°; 3) ZAOB = 180° bo‘lsa, AB vatarni toping.
O markazli aylananing AB va CD vatarlari teng. 1) Oxirlari A va B da bo‘lgan ikkita yoy mos ravishda oxirlari C va D da bo‘lgan ikkita yoyga teng ekanini isbotlang. 2) Agar ZAOB = 130° bo‘lsa, oxirlari C va D da bo‘lgan yoyni toping.
1) AB yarim aylanada C va D nuqtalar shunday olinganki, unda wAC = 35°, wBD = 25°. Agar aylana radiusi 12 sm ga teng bo‘lsa, CD vatarni toping.
2) Aylananing AB va CD vatarlari P nuqtada kesishadi. Agar wAD = 56° va wBC = 70° bo‘lsa, BPC burchakni toping.
A
Do'stlaringiz bilan baham: |
