1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

u chburchak bilan umumiy asosga va umumiy balandlikka ega bo‘lgan paral­lelogrammning yuzi uchburchak yuzidan ikki marta katta.

3. 
   masala. Qavariq to‘rtburchakning uchlari orqali uning diagonallariga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilsa, u holda hosil bo‘lgan parallelogrammning yuzi berilgan to‘rtburchak yuzidan ikki marta katta bo‘lishini isbotlang.
   

Y echilishi. ABCD — berilgan qavariq to‘rtburchak, O — AC va BD diagonallarning kesishish nuqtasi, h_l va h₂ — to‘rtburchakning B va D uchlaridan AC diagonalga tushirilgan balandliklar; EFPQ — to‘rtburchakning uchlari orqali uning diagonallariga parallel qilib o‘tka- zilgan to‘g‘ri chiziqlar kesishishidan hosil bo‘l- gan parallelogramm (167- rasm).
Sefpq = 2S_ABCD ekanini isbotlaymiz.
Yasashga ko‘ra, parallelogrammning EF va QP tomonlari AC diagonalga parallel hamda teng. Shuning uchun AC diagonal hosil bo‘lgan EFPQ paral- lelogrammni ikkita — AEFC va ACPQ parallelogrammlarga ajratadi.
^SEFPQ = ^2SABCD ^tenglikni
Yuqorida keltirilgan eslatmadagi xulosani qo‘llab, isbotlaymiz:
^SEFPQ ^SAEFC + ^SACPQ ^2SABC + ^2SADC ^2(SABC + ^SADC^{) 2S}ABCD•
^Demak, ^Sefpq = ^2SABCD-
Savol, masala va topshiriqla

r


. 0 2- § ga doir qo‘shimcha mashqlar

342. 
     ABCD to‘rtburchakda BD = 12 sm. B uchi AC to‘g‘ri chiziqdan 4 sm uzoqda. ABC uchburchakning yuzini toping.
     
343. 
     ABC uchburchakda ZC = 135°, AC = 6 dm, BD balandlik 2 dm ga teng. ABD uchburchakning yuzini toping.
     
344. 
     Toshkent markazida qad rostlagan «O‘zbekiston» anjumanlar saroyining bevosita foydalaniladigan maydoni 6,5 ming m⁷ ni tashkil etadi. Shu yuza: 1) necha gektarni; 2) necha ar (sotix)ni tashkil etadi?
     
345. 
     AC va BD — ABCD to‘rtburchakning diagonallari, O — ularning kesi­shish nuqtasi. S_AOD = 12, S_BOC = 8, S_AOB = 6. S_COD ni toping.
     
346. 
     To‘g‘ ri burchakli uchburchakda katetlar ko‘paytmasi gipotenuza bilan unga o‘tkazilgan balandlik ko‘paytmasiga tengligini isbotlang.
     
347. 
     Ikkita uchburchakning asoslari teng. Ularning yuzlari shu tomonlarga o‘tkazilgan balandliklar nisbati kabi ekanini isbotlang.
     
348. 
     Gugurt cho‘pining uzunligini 1 ga teng, deylik. 12 ta gugurt cho‘pidan yuzi to‘rt kvadrat birlikka teng bo‘lgan ko‘pburchak yasang.
     
349. 
     Qavariq to‘rtburchakning uchi orqali shunday to‘g‘ri chiziq o‘tkazingki, u bu to‘rtburchakni yuzlari teng bo‘lgan ikkita shaklga bo‘lsin.
     
350. 
     Qavariq ko‘pburchak diagonallari bilan yuzlari butun sonlarda ifodala- nadigan to‘rtta uchburchakka bo‘lingan. Bu sonlarning ko‘paytmasi to‘liq kvadrat bo‘lishini isbotlang.
     
351. 
     Uzunligi 5 sm dan bo‘lgan 30 ta gugurt cho‘pidan eng katta yuzli to‘g‘ri to‘rtburchak yasaldi. Uning yuzi qanchaga teng?
     

test

4. 
   

6. 
   Qavariq to‘rtburchakning diagonallari o‘zaro perpendikular hamda uzun- liklari 7 sm va 8 sm ga teng. Shu to‘rtburchakning yuzini toping.
   

A) 56 sm²; B) 112 sm²; D) 28 sm²; E) 84 sm².

6. 
   Rombning yuzi 40 sm² ga, uning perimetri esa 20 sm ga teng. Shu rombning balandligini toping.
   

A) 2 sm; B) 8 sm; D) 4 sm; E) 16 sm.

6. 
   Asoslari 5 sm va 9 sm ga teng bo‘lgan trapetsiyaning yuzi 35 sm² ga teng. Shu tarpetsiyaning balandligini toping.
   

A) 9 sm; B) 8 sm; D) 5 sm; E) 10sm.

6. 
   Asoslari 8 va 12 ga teng bo‘lgan teng yonli trapetsiyaning diagonallari o‘zaro perpendikular. Trapetsiyaning yuzini toping.
   

A) 100; B) 64; D) 144; E) 76.

6. 
   Trapetsiyaning yuzi 30 sm² ga, balandligi 6 sm ga teng bo‘lsa, uning o‘rta chizig‘i qanchaga teng bo‘ladi?
   

A) 2,5 sm; B) 5 sm; D) 7,5 sm; E) 4,5 sm.

6. 
   ABCD teng yonli trapetsiyaning diagonallari o‘zaro perpendikular. Agar AC diagonal 6 sm ga teng bo‘lsa, uning yuzini toping.
   

A) 9 sm²; B) 36 sm²; D) 18 sm²; E) 27 sm².
Tarixiy ma’lumotlar
Ibn Sinoning «Donishnoma» asarining beshinchi bobi «To‘rtburchaklar, ularda joylashgan uchburchaklar va ularning munosabatlariga doir asosiy geometrik masalalar» mavzusiga bag‘ishlangandir.

1. 
   teorema. O‘zaro parallel ikki chiziq orasiga joylashgan, umumiy asosga ega va qarama-qarshi tomonlari parallel shakllar tengdosh bo‘ladi (ya’ni ularning yuzlari teng). Masalan, asoslari CD bo‘lgan ABCD va EGCD tekis shakllar o‘zaro tengdosh bo‘ladi (168- rasm).
   
2. 
   teorema. O‘zaro parallel chiziqlar orasiga joylashgan va umumiy asosga ega bo‘lgan uchburchaklar tengdosh bo‘ladi. Masalan, CD asosga ega bo‘lgan ACD va GCD uchburchaklar tengdosh bo‘ladi (169- rasm).
   

t eorema. O‘zaro parallel chiziqlar orasiga joylashgan va asoslari teng bo‘lgan to‘rtburchaklar tengdosh bo‘ladi. Masalan, ABCD va GEHF to‘rtburchaklar tengdoshdir (170- rasm)

.

3. 
   

	27- mavzu.
		PIFAGOR VA UNING TEOREMASI HAQIDA

Buyuk yunon matematigi Pifagorning hayoti haqidagi ma’iumotlar tarixda juda kam keltirilgan. U miloddan avvalgi VI asrning ikkinchi yarmida Egey dengizining Samos orolida tug‘ilgan. Keyinchalik u Italiyaning janubidagi Kroton shahrida yashagan, shu yerda o‘z maktabiga asos solgan. Pifagor maktabi shakllarni ajratish va to‘g‘ri chiziqli shakllarni tengdosh shakllarga almashtirishning geomet- rik usulidan teoremalarni isbot qilish va masalalar yechishda foydalanganligi yunon matematiklarining asarlaridangina bizga ma’lum. Xususan, geometriyaning fan sifatida tarkib topishiga Pifagor va uning maktabi katta hissa qo‘shgan. Quyida keltiriladigan teorema Pifagor nomi bilan yuritiladi. Uning mazmuni quyidagicha:
T eorema. (Pifagor teoremasi.) To‘g‘ri burchakli uchburchak gipotenuzasining kvadrati uning katetlari kvadratlarining yig‘indisiga teng.
Bu teorema to‘g‘ri burchakli uchburchakka oid bo‘lib, uchburchak tomon- lariga teng kvadratlarning yuzlari orasidagi munosabatni ko‘rsatadi. Pifagor bu teoremaning nazariy isbotini keltirgan. Pifagor teoremasi bilan aniqlangan geo­metrik munosabatning xususiy hollari Pifagordan oldin ham turli xalqlarda ma’lum edi, ammo teoremaning bu umumiy shakli Pifagor maktabiga nisbatan beriladi.
Katetlari a va b, gipotenuzasi c bo‘lgan to‘g‘ri burchakli ABC uchburchak berilgan bo‘lsin, u holda Pifagor teoremasi
c² = a² + b² (1)
formula bilan ifodalanadi, bunda a², b², c² — tomonlari a, b, c bo‘lgan kvadratlarning yuzlariga teng. Shuning uchun bu tenglik tomoni gipotenuzaning uzunligiga teng kvadratning yuzi tomonlari katetlarga teng kvadratlarning yuzlari yig‘indisiga teng ekanini ko‘rsatadi (171- rasm).
Agar a, b va c butun musbat sonlar uchun a² + b² = c² tenglik bajarilsa, bu sonlar Pifagor sonlari yoki Pifagor uchliklari deb ataladi. Agar to‘g‘ri burchakli uch­burchak katetlari va gipotenuzasining uzunliklari butun sonlar bilan ifodalansa, bu sonlar Pifagor uchligini hosil qiladi. Bunday uchlikka 3, 4 va 5 sonlari misol bo‘la oladi. Haqiqatan, 3² + 4² = 5². Tomonlari 3, 4 va 5 ga teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak yasashdan Misrda yer ustida to‘g‘ri burchak yasashda foydalanilgan. Shuning uchun bunday uchburchak ko‘pincha «misr uchburchagi» deb ataladi

.





P ifagor teoremasi to‘g‘ri burchakli uchburchakning istalgan ikki tomoniga ko‘ra uchinchi tomonini topish imkonini beradi.
Pifagor teoremasining tatbig‘iga misol tariqasida tomoni 1 birlikka teng bo‘l- gan kvadratning diagonalini topamiz. Kvadratning diagonali har bir kateti 1 bir- likdan bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning gipotenuzasidan iborat. Pifagor teoremasiga asosan diagonalning kvadrati 1⁸ + 1² = 2, bundan esa diagonalning uzunligi V2 bo‘ladi.
Bu teorema tatbig‘ining ikkinchi misoli sifatida uzunligi 4n ga teng bo‘lgan kesma yasash usulini ko‘rsatamiz, bunda n — ixtiyoriy natural son. Biror to‘g‘ri chiziqning O nuqtasini olib, unda uzunligi 1 ga teng OA kesma ajratamiz (172- rasm), A nuqtadan bu to‘g‘ri chiziqqa perpendikular o‘tkazamiz va unda AB = 1
kesma ajratamiz. B nuqtani O nuqta bilan tutashtirib, BO = V1² + 1² = л/2 kes­mani hosil qilamiz.
B nuqtadan OB ga perpendikular o‘tkazamiz va bu perpendikularda BC = 1
kesmani ajratamiz. C va O nuqtalarni tutashtirib, CO = +1² = л/3 kesmani
hosil qilamiz va shunday yasashni davom ettirib, л/4 = 2 , л/5 , л/б va h.k. ga teng kesmalarni hosil qilamiz.
л/2, л/3, л/5, л/6,л/7 kesmalar uzunlik birligi uchun qabul qilingan OA kesma bilan umumiy o‘lchovsiz ekanini qayd qilamiz, chunki ularning uzunliklari irratsional sonlar bilan ifodalanadi.
Ma’lumot uchun. Tomonlari butun sonli to‘g‘ri burchakli uchburchak
t
Yana boshqa bir qoida ham bor: a, (y) sonlarini hosil qiladi, bunda a — juft son.