Bog'liq Geometriya. 8-sinf (2014, A.Rahimqoriyev, M.To\'xtaxo\'jayeva)
Savol, masala va topshiriqlar 1) Vatarga perpendikular diametr qanday xossaga ega?
2) Aylana vatari diametridan katta emasligini isbotlang. Aylana chizing hamda uning bir-biriga perpendikular ikkita AB va CD diametrlarini o‘tkazing. A, B, Сva D nuqtalar ajratgan aylana yoylari- ning gradus o‘lchovini toping.
8 sm li vatar aylanadan 90° li yoy ajratadi. Aylana markazidan vatar- gacha bo‘lgan masofani toping.
1) Aylana diametri uning radiusidan 65 mm ga katta. Shu aylana dia- metrini toping.
2) (Og‘zaki.) Ikkita nuqta orqali nechta aylana o‘tishi mumkin? Aylana ichida berilgan nuqtadan shu nuqtada teng ikkiga bo‘linadigan vatar o‘tkazing.
Aylanada undan 90° li yoy ajratuvchi ikkita parallel vatar o‘tkazilgan. Ulardan birining uzunligi 8 sm. Vatarlar orasidagi masofani toping.
Aylananing radiusi 13 sm ga teng. Shu aylanada 10 sm ga teng vatar o‘tkazilgan. Aylana markazidan vatargacha bo‘lgan masofani toping.
1) Aylananing markazidan boshqa nuqtada kesishuvchi ikki vatari kesi- shish nuqtasida teng ikkiga bo‘linmasligini isbotlang. Aylananing AA1 diametri BB1 vatarga perpendikular. AB va AB1 yoy- larning gradus o‘lchovi yarim aylanadan kichik va teng ekanini isbotlang. Aylanadagi A nuqtadan aylananing radiusiga teng ikki vatar AB va AC o‘tkazilgan. B va C nuqtalar to‘g‘ri chiziq bilan tutashtirilgan. Aylananing radiusi 12 sm. Aylananing markazidan BC vatargacha bo‘lgan masofani toping.
Aylanada undan 90° li yoy ajratuvchi ikkita parallel vatar o‘tkazilgan. Ulardan birining uzunligi 10 sm. Vatarlar orasidagi masofani toping.
Aylanada uchta teng vatar o‘tkazilgan. Markazdan vatarlardan birigacha bo‘lgan masofa 5 sm ga teng. Markazdan qolgan ikki vatargacha bo‘l- gan masofani toping.
35- mavzu- TO‘G‘RI CHIZIQ BILAN AYLANANING O‘ZARO JOYLASHISHI. AYLANAGA URINMA To‘g‘ri chiziq bilan aylananing o‘zaro joylashishi. Bu bandda tekislikda to‘g‘ri chiziq bilan aylananing o‘zaro joylashishini ko‘rib chiqamiz. Agar to‘g‘ri chiziq aylana markazidan o‘tsa, u holda u aylanani ikki nuqtada, ya’ni bu to‘g‘ri chiziqda yotuvchi diametr uchlarida kesishi ravshan.
Berilgan l to‘g‘ri chiziq bilan (O, R) aylana nechta umumiy nuqtaga ega, degan savolga javob berish uchun aylananing markazi O dan l to‘g‘ri chiziq- qacha bo‘lgan d masofani shu aylananing R radiusi bilan taqqoslash kerak. Aylananing markazidan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikular aylana markazidan to‘g‘ri chiziqqacha masofa deb ataladi. Bunda uch hol bo‘lishi mumkin: 1) d > R; 2) d = R; 3) d < R. Endi bu hollarni ko‘rib chiqamiz. hol.Agar aylananing markazidan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa aylananing radiusidan katta bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq bilan aylana umumiy nuqtaga ega bo‘lmaydi, ya’ni kesishmaydi.
Haqiqatan ham, agar d > R bo‘lsa (190-a rasm), l to‘g‘ri chiziqning O mar- kazga eng yaqin nuqtasi (demak, bu to‘g‘ri chiziqning istalgan nuqtasi ham) (O, R) aylanaga tegishli bo‘lmaydi, chunki u markazdan aylana radiusidan katta masofada bo‘ladi. Demak, l to‘g‘ri chiziq va aylana umumiy nuqtaga ega emas. hol.Agar aylananing markazidan to‘g‘ri chiziqqacha masofa aylananing radiusiga teng bo‘lsa, u holda to‘g‘ri chiziq bilan aylana bitta va faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo‘ladi.
Haqiqatan ham, agar d = R bo‘lsa (190-b rasm), l to‘g‘ri chiziqning O mar- kazga eng yaqin nuqtasi aylananing radiusiga teng masofada bo‘ladi, va demak, u nuqta (A) aylanaga ham tegishli bo‘ladi. l to‘g‘ri chiziqning A dan farqli B nuqtasi aylanadan tashqarida yotadi, chunki OB masofa OA radiusdan katta bo‘ladi (OB> OA). Demak, l to‘g‘ri chiziq va aylana bitta umymiy A nuqtaga ega. hol. Aylananing markazidan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa aylananing radiusidan kichik bo‘lsa (d < R), u holda to‘g‘ri chiziq bilan aylana ikkita
To‘g‘ri chiziqning aylana ichidagi qismi vatar bo‘ladi (190-d rasm). Bu holda to‘g‘ri chiziq aylanaga nisbatan kesuvchi deyiladi. Vatarning uzunligi AB ni aylananing radiusi va markazidan to‘g‘ri chiziq- qacha masofa d orqali ifodalash mumkin: AB = 2 V R2 - d2 . Bu tenglikni o‘zingiz isbot qiling. Xulosa.To‘g‘ri chiziq bilan aylana umumiy nuqtalarga ega bo‘lmasligi, bir yoki ikki umumiy nuqtaga ega bo‘lishi mumkin. Aylanaga urinma.
/ N Ta’rif.Aylana bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziq shu aylanaga urinma deyiladi, ularning umumiy nuqtasi esa urinish nuqtasi deyiladi. 190-b rasmda l to‘g‘ri chiziq O markazli aylanaga urinma, A — urinish nuqtasi. Aylana l to‘g‘ri chiziqqa urinadi, deyish ham mumkin. Urinmaning xossasi haqidagi teoremani isbotlaymiz. teorema.
Aylanaga urinma shu aylananing urinish nuqtasiga o‘tkazilgan radiusga perpendikulardir. I sbot.l to‘g‘ri chiziq aylanaga A nuqtada o‘tkazilgan urinma bo‘lsin (191- rasm). R = OA ning l ga perpendikular bo‘lishini isbot qilamiz. Shartga ko‘ra, l to‘g‘ri chiziqning A nuqtasidan boshqa hamma nuq- talari aylanadan tashqarida yotadi. Shuning uchun bu to‘g‘ri chiziqning A dan boshqa har qanday A1 nuqtasi uchun OA1> OA. Demak, OA masofa O nuqtadan l to‘g‘ri chiziqning nuqtalarigacha bo‘lgan masofa- larning eng qisqasidir. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha eng qisqa masofa esa shu to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikular bo‘ladi. Bundan, OA ± l ekani kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. Endi urinmaning xossasiga teskari teoremani isbotlaymiz (urinmaning alomati). teorema.
Radiusga perpendikular va uning aylanada yotgan uchidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq shu aylanaga urinmadir. Isbot. Agar aylana markazidan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa aylana radiusiga teng (d = R) bo‘lsa (190-b rasmga q.), u holda A nuqta aylanaga tegishli va demak, u to‘g‘ri chiziq bilan aylananing umumiy nuqtasi bo‘ladi. l to‘g‘ri chiziqning A nuqtadan farqli ixtiyoriy B nuqtasi aylanadan tashqarida yotadi, chunki OB masofa OA radiusdan katta bo‘ladi: OB > OA. Shartga ko‘ra, OA ± l. Demak, A nuqta l to‘g‘ri chiziq bilan aylananing yagona umumiy nuqtasidir. Ta’rifga ko‘ra, l to‘g‘ri chiziq aylanaga urinma bo‘ladi.
