|
Topish kerak: AC.
Berilgan: ZaOb, AB || A1B11| A2B21| A3B31| A4B4, OA = AA1 = A1A2 = = A2A3 = A3A4. OB4 = 8 sm (81- rasm).
Topish kerak: OB1, OB2, OB3.
Agar burchakning har qaysi tomoniga ketma-ket teng uzunlikdagi kes- malar qo‘yib chiqilsa va kesmalarning tegishli uchlari (burchak uchidan boshlab sanab) orqali to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilsa, bu to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lishini isbotlang.
A BC uchburchakning BC tomoni to‘rtta teng kesmalarga bo‘lingan va bo‘linish nuqtalari orqali uzunligi 18 sm ga teng bo‘lgan AB tomoniga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan. Shu to‘g‘ri chiziqlarning uchburchak ichida qolgan kesmalarining uzunliklarini toping.
T rapetsiyaning yon tomonlaridan biri uchta teng bo‘lakka bo‘lingan, bo‘linish nuqtalaridan asoslariga parallel qilib kesmalar o‘tkazilgan. Trapetsiyaning asoslari 15 sm va 24 sm ga teng bo‘lsa, bu kesmalarning uzunliklarini toping.
Berilgan: A ABC, D — AB ning o‘rtasi va DF || BC, E — BC ning o‘rtasi va EP || AB.
Isbot qilish kerak: DF va EP to‘g‘ri chiziqlar ABC uchburchak- ni AC ga tegishli bir nuqtada kesadi.
ABC uchburchak tomonlarining har biri uchta teng kesmalarga bo‘lin- gan va bo‘linish nuqtalari kesmalar bilan tutashtirilgan (82- rasm). Agar ABC uchburchakning perimetri p ga teng bo‘lsa, bu rasmda hosil bo‘l- gan shaklning perimetrini toping.
Sirkul va chizg‘ich yordamida berilgan AB kesmani: 1) to‘rtta; 2) beshta teng bo‘lakka bo‘ling.
ABC burchakning tomonlarida to‘rtta nuqta: K, L, M va N (K, L — bur- chakning AB tomonida, M, N — burchakning BC tomonida) olingan. Agar BM = MN va BL = LK bo‘lsa, LM va KN to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladimi (83- rasm)?
ABCD parallelogrammda M nuqta BC tomonning o‘rtasi, N nuqta AD tomonning o‘rtasi. BN va MD to‘g‘ri chiziqlar parallelogrammning AC diagonalini teng uchta bo‘lakka bo‘lishini isbot qiling (84- rasm).
A
13- mavzu.
BC uchburchakda D va E nuqtalar — teng AB va BC tomonlarining o‘r- talari. DF, BM va EN kesmalar AC tomonga perpendikular. AC tomon 36 sm ga teng. F va N nuqtalar orasidagi masofani toping (85- rasm).
FALES TEOREMASI TATBIG‘IGA DOIR MASALALAR
Kesmalarning nisbati.
Ta’rif. Ikki kesmaning nisbati deb, shu kesmalar bir xil uzunlik ol- chov birliklari bilan fodalanganda, ulardan biri ikkinchisidan necha marta katta yoki kichikl/gini ko“rsatuvchi songa aytiladi.
Masalan, a va b kesmalar, mos ravishda, 6 sm va 18 sm ga teng bo‘lsin. Kesmalarning nisbati bo‘linma (kasr) shaklida ifodalanadi.
| . U iO Й111 Л
b=issm = 3 yoki a = "6im =3 •
izoh. Agar kesmalar turli uzunlik o‘lchov birliklarida berilgan bo‘lsa, dastlab ularni bir xil uzunlik o‘lchov birliklariga keltirib, so‘ngra nisbat olish kerak, aks holda noto‘g‘ri natijaga kelinadi.
izoh. Ikki kesmaning nisbati o‘lchov birligining qanday tanlanishiga bog‘liq emas. Bir o‘lchov birligidan boshqa o‘lchov birligiga o‘tishda kesmalarning uzunliklarini ifodalovchi sonlar bir xil songa ko‘paytiriladi, shuning uchun bunda ikki kesmaning nisbati o‘zgarmaydi.
izoh. 0. nisbatda a — nisbatning oldingi hadi, b — nisbatning keyingi
hadi deyilishini; shuningdek, a ning b ga nisbati a: b kabi belgilanishini eslatib o‘tamiz.
Proporsional kesmalar.
Ta’rif. Agar ■AB = ABr bo7sa, u holda AB va BC, A1B1 va B1C1 BC Bj C i
kesmalar proporsional kesmalar deb ataladi. Bu kesmalarning uzunliklarini ifodalovchi sonlar proporsional sonlar boladi.
Masalan, uzunliklari 2 sm va 3 sm teng bo‘lgan AB va BC kesmalar uzunliklari 4 sm va 6 sm teng bo‘lgan A1B1 va B1C1 kesmalarga proporsional kesmalar bo‘ladi. Haqiqatan ham,
AB A1B1 2 BC = BC = 3 ■
izoh. Bu yerda ham va bundan keyin ham ko‘pincha AB, CD va hokazo kesmalar deganda, ularning uzunliklarini ifoda etuvchi sonlarni tushunamiz.
Buning natijasida kesmalarning nisbati va kesmalardan tuzilgan proporsiyalar sonlar nisbatlarining va sonlardan tuzilgan proporsiyalarning barcha xossalariga ega bo‘ladi.
Shuning uchun bu yerda ularni keltirmaymiz, chunki ular 6- sinf matematika kursidan Sizga tanish.
Fales teoremasi yordamida quyidagi muhim teoremani isbot qilish mumkin.
T eorema.
(Proporsional kesmalar haqida.) Burchak tomonlarini kesuvchi ikki parallel to‘g‘ri chiziq burchak tomonlaridan proporsional kesmalar ajratadi.
a va b dan iborat ikki parallel to‘g‘ri chiziq A burchakning tomonlarini B, C va D, E nuqtalarda kesgan bo‘lsin.
AE AD
= -ггтт ekanligini isbot qilish talab etiladi.
EB DC
Isbot. AE va EB kesmalar umumiy o‘lchovli bo‘lsin. U holda AE va EB kesmalarning eng katta umumiy k1 o‘lchov birligi AE kesmaga m marta (AE = m • k1) va EB kesmaga esa n marta (EB = n • k1) joylashadi, deylik (86- rasm).
m
Bu holda kesmalarning nisbati — ratsional son bilan ifodalanadi, ya’ni
= m k m bo‘ladi. Demak, = —. Bu tenglik, agar AE kesmada m ta
AE _ m ■ ki m , tl , • т-ч . .. AE m EB n ■ ki n ' eb n
teng bo‘lak bo‘lsa, EB kesmada bunday bo‘laklardan n ta bo‘lishini ko‘rsatadi. Bizning misolda m = 4 va n = 5 ga teng.
H
AD m ■ k2 m , . AD ,
2 = —, ya’ni DC = ~ ekan.
ar bir bo‘linish nuqtasidan a va b ga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz. Fales teoremasiga ko‘ra, AD va DC kesmalar teng bo‘laklarga bo‘linadi. Agar AC tomon uchun k2 ni o‘lchov birligi sifatida qabul qilsak, u holda bunday bo‘laklardan AD da m ta (AD = m • k2) va DC da n ta (DC = n • k2) joylashadi.
m
Demak, =
’ DC n ■ k2
n
AE m AD m AE AD
Shunday qillb’ Eb = T va DC = -, bundan EB = DC ■
Bu teorema ixtiyoriy ikki (a, b) to‘g‘ri chiziqni parallel (/1, /2, /3) to‘g‘ri chiziqlar kesib o‘tganda hosil bo‘ladigan kesmalar uchun ham o‘rinlidir (87- rasm). Buni o‘zingiz isbot qiling.
E s l a t m a! m va n lar berilgan o‘lchov birliklarida butun sonlar bilan ifoda qilinmasa, unda shunday mayda birlik olish kerakki, AE va EB larga umumiy o‘lchov bo‘la olsin.
Natija. Agar parallel to‘g‘ri chiziqlar A burchakning tomonlarini B, C va D, E nuqtalarda kessa, u holda
Do'stlaringiz bilan baham: |
