1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

Beruniy parallelogrammga quyidagicha ta’rif beradi:
«U to‘rtburchakli shakl, uning har qanday ikki qarama-qarshi tomoni parallel. Uning qarama-qarshi burchaklarining uchlarini tutashtiruvchi chiziq diagonal deb ataladi».

	12- mavzu.
		FALES TEOREMASI

1. 
   Dastlabki tushunchalar. Bizga o‘zaro parallel /₁ va l₂ to‘g‘ri chiziqlar hamda ularni kesuvchi a to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin (73- rasm).
   

Agar kesuvchi a to‘g‘ri chiziq, l₁ va l₂ to‘g‘ri chiziqlarni A va B nuqtalarda kesib o‘tsa, l₁ va l₂ parallel to‘g‘ri chiziqlar a to‘g‘ri chiziqdan AB kesma ajratadi, deb aytiladi.
Uchta l₁, l₂ va l₃ parallel to‘g‘ri chiziqlar a to‘g‘ri chiziqni A, B, C nuqtalar­da kesib, AB va BC kesmalar ajratsin (74- rasm).
Agar AB = BC bo‘lsa, parallel to‘g‘ri chiziqlar a to‘g‘ri chiziqdan teng kes­malar ajratadi, deb aytiladi (74- rasm).
T eorema.
Agar a lib bo‘lib, l₁, l₂ va 1₃ parallel to‘g‘ri chiziqlar a to‘g‘ri chiziqdan teng kesmalar ajratsa, b to‘g‘ri chiziqdan ham teng kesmalar ajratadi.
Isbot. To‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini, mos ravishda, A, B, C va A₁, B₁, C₁ bilan belgilaylik (75- rasm).
Teorema shartiga ko‘ra, a||b va AB = BC. A₁B₁ = B₁C₁ ekanini isbot qili- shimiz kerak.
To‘g‘ri chiziqlarning kesishishidan hosil bo‘lgan ABBA va BCC₁B₁ to‘rtbur- chaklar parallelogrammdir, chunki ular o‘zaro parallel to‘g‘ri chiziqlarning kesi­shishidan hosil bo‘lgan. Parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari bo‘lgani uchun AB = A₁B₁ va BC = B₁C₁ bo‘ladi. Bundan A₁B₁ = B₁C₁ kelib chiqadi, chunki shartga ko‘ra, AB = BC. Teorema isbot bo‘ldi.
E s l a t m a! Bu holda AB = BC = A₁B₁ = B₁C₁ ekanini esda tutish kerak.

2. 
   Fales teoremasi. Quyida ko‘riladigan teorema uchburchak va trapetsiya­ning o‘rta chiziqlari haqidagi teoremalarning umumlashgan holi bo‘lib, u «Fales teoremasi» deb ataladi.
   

T eorema.
Agar burchak tomonlarini kesuvchi parallel to‘g‘ri chiziqlar uning bir tomonidan teng kesmalar ajratsa, ular ikkinchi tomonidan ham teng kesmalar ajratadi.
I sbot. O burchakning bir tomonida (a nurda) o‘zaro teng A^A₂ va A₂A₃ kesmalar qo‘yilgan hamda ularning oxirlari (A₁, A₂, A₃) orqali ikkinchi tomonni
(b numi) B,, B₂, B₃ nuqtalarda kesuvchi o‘zaro parallel A,B,, A₂B₂ va A₃B₃ to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazilgan bo‘lsin (76- rasm).
Endi hosil bo‘lgan B,B₂ va B₂B₃ kesmalarning o‘zaro tengligini, ya’ni agar A,A₂ = A₂A₃ bo‘lsa, u holda B,B₂ = B₂B₃ bo‘lishini isbotlaymiz.
Bizga ma’lumki, trapetsiya yon tomoni o‘rtasidan o‘tuvchi va asoslariga pa­rallel to‘g‘ri chiziq ikkinchi yon tomonini teng ikkiga bo‘ladi (35- betdagi na- tijaga q.). Shuning uchun, A,B,B₃A₃ trapetsiyada B,B₂ = B₂B₃ bo‘ladi. Shuni isbot- lash talab qilingan edi.
A,B,B₃A₃ trapetsiyada A^A₂ = A₂A₃ (yasashga ko‘ra) va B,B₂ = B₂B₃ (isbotga ko‘- ra) bo‘lgani uchun, A₂B₂ — trapetsiyaning o‘rta chizig‘i (ta’rifga ko‘ra) bo‘ladi.
Navbatdagi A₂A₃ = A₃A₄ dan B₂B₃ = B₃B₄ kelib chiqishi esa trapetsiyaning o‘rta chizig‘i haqidagi teoremadan foydalanib isbotlanadi.
Xuddi shunga o‘xshash qolgan kesmalarning tengligi isbotlanadi.
E s l a t m a! Fales teoremasi shartida burchak o‘rniga har qanday ikki to‘g‘ri chiziqni olish mumkin bo‘ladi, bunda teoremaning xulosasi ilgarigicha qoladi (77- rasm):
berilgan ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi va to‘g‘ri chiziqlarning biridan teng kesmalar ajratuvchi parallel to‘g‘ri chiziqlar ikkinchi to‘g‘ri chiziqdan ham teng kesmalar ajratadi.

1. 
   masala. Berilgan: AD va BE — ABC uchburchakning medianalari, EF || AD, EC = 6 sm, CF = 4 sm (78- rasm).
   

Berilgan uchburchakning BC va AC tomonlari uzunliklarini toping.
Yechilishi.

1. 
   AC = 2 • EC = 2 -6 = 12 (sm) (uchburchakning medianasi ta’rifiga ko‘ra).
   
2. 
   Fales teoremasiga ko‘ra: Cf = FD. Bundan FD = 4 sm, CD = 2- Cf= = 2-4 = 8 (sm) (uchburchakning medianasi ta’rifiga ko‘ra) ekanligi kelib chiqadi.
   
3. 
   BC = 2 • CD = 2 -8 = 16 (sm) (uchburchakning medianasi ta’rifiga ko‘ra).
   

Javob: BC =16 sm, AC =12 sm.

2. 
   masala. (Kesmani teng bolaklarga bolish.) Berilgan AB kesmani n ta teng bo‘lakka bo‘ling.
   

Yechilishi. AB kesma berilgan bo‘lsin. Uni n ta teng bo‘lakka bo‘lishni ko‘rsatamiz. A nuqtadan AB to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan AC numi o‘tkazamiz va unda A nuqtadan boshlab n ta AA₁, A^A₂, A₂A₃, ..., A_n—1A_n teng kesmalarni, ya’ni berilgan AB kesmani masala shartidan kelib chiqib nechta bo‘lakka bo‘lish zarur bo‘lsa, shuncha teng kesmani qo‘yamiz (79- rasm, n = 6). So‘ngra A_nB to‘g‘ri








c
a
hiziqni o‘tkazamiz (A_n nuqta — oxirgi kesmaning oxiri) va A₁, A₂, A₃, A_n—1 nuqtalar orqali A_nB to‘g‘ri chiziqqa parallel to‘g‘ri chiziqlarni o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlar AB kesmani B₁, B₂, B₃, B_n—1 nuqtalarda kesadi va uni Fales teoremasiga ko‘ra n ta teng bo‘lakka bo‘ladi: AB₁ = B₁B₂ = ... = B_n—1B.
Savol, masala va topshiriqlar

157. 
     1) Fales teoremasini ayting.
     

2) Fales teoremasi faqat burchak uchun o‘rinlimi?

158. 
     Sirkul (pargar) va chizg‘ich yordamida berilgan AB kesmani: 1) ikkita;
     

2. 
   uchta; 3) oltita; 4) yettita teng bo‘lakka bo‘ling.
   

159. 
     Berilgan: AB = BD = 7 sm, BC|| DE, CE = 5 sm (80-rasm).