1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

У
gar payqagan bolsangiz, uni tushuntirishga harakat qiling.
Shakl biror l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan o‘ziga-o‘zi simmetrik bo‘lishi mumkin. Bu degani, uning har bir X nuqtasiga l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik X nuqta uning o‘zida yotadi. U holda l to‘g‘ri chiziq shaklning simmetriya o“qi deyiladi, shakl esa o“q simmetriyasiga ega deyiladi

.





O‘q simmetriyasiga ega bo‘lgan shakllarga misollar keltiramiz.
Masalan: 1) tekislik shu tekislikda yotgan har qanday to‘g‘ri chiziqqa nisba­tan simmetrik (108-a rasm); 2) yarim tekislik uning chegarasiga perpendikular bo‘lgan har qanday to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik (108-b rasm); 3) kesma o‘zining o‘rta perpendikulariga nisbatan simmetrik (108-d rasm); 4) to‘g‘ri chiziq unga perpendikular bo‘lgan ixtiyoriy to‘g‘ri chiziqqa simmetrik (108-e rasm). Ushbu rasmlardan bu tasdiqlarning to‘g‘riligini ko‘rish qiyin emas.
Simmetriya o‘qiga ega bo‘lgan shaklni quyidagicha yasash mumkin: bir varaq qog‘ozni buklab, unga biror shakl (naqsh, qul, ...) chizing va uni shaklning che- garalari bo‘ylab qirqing. Varaqni ochsangiz, buklash chizig‘iga nisbatan simmet­rik shaklni hosil qilasiz. Buklash chizig‘i Siz chizgan shaklning simmetriya o‘qi bo‘ladi.
Shakl bitta, ikkita, uchta, ..., cheksiz ko‘p simmetriya o‘qiga ega bo‘lishi mumkin.
T eorema.
Burchakning bissektrisasi yotgan to‘g‘ri chiziq shu burchakning simmet­riya o‘qidir.
Isbot.l-usul. 1) O uchli hamda tomonlari a va b nurlardan iborat yoyiq bo‘lmagan burchak (uni aOb kabi belgilash ham mumkin) uchun a va b nurlar- ning burchak bissektrisasi yotgan l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrikligini is­botlaymiz (109-a rasm).

1. 
   qadam. a nurda ixtiyoriy A nuqta olamiz. So‘ngra b nurda B nuqtani shunday yasaymizki, unda OB = OA (109- b rasm).
   
2. 
   qadam. AB kesmani o‘tkazamiz. U l to‘g‘ri chiziqni biror C nuqtada kesadi (109- d rasm).
   

qadam. OC kesma teng yonli OAB uchburchakning AB asosiga o‘tkazil- gan bissektrisasi va shu bilan bir qatorda, bu bissektrisa OAB uchburchakning ham medianasi, ham balandligi bo‘ladi (chunki OAC va OBC uchburchaklar uchburchaklar tengligining 1- alomatiga ko‘ra teng). Shuning uchun OC to‘g‘ri chiziq AB kesmaning o‘rta perpendikulari, ya’ni A va B nuqtalar l to‘g‘ri chiziq­qa nisbatan simmetrik. aOb burchak tomonlari a va b, uning bissektrisasi yotadi- gan to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik. Demak, burchakning o‘zi ham shu to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik ekan

.

3. 
   

Shunday qilib, burchak bissektrisasi yotgan togW chiziq shu burchakning sim­metriya o“qi boladi'.

2. 
   Yoyiq burchak uchun bu tasdiqning to‘g‘riligi 108-d rasmda ko‘rsatilgan.
   

2-usul. aOb burchakning bissektrisasi yotgan to‘g‘ri chiziq l bo‘lsin (109-a rasmga q.). l to‘g‘ri chiziqli simmetriyani ko‘rib chiqamiz.
Bu simmetriyada l nur o‘ziga akslanadi, aOl burchak esa l tomonli va aOl burchakka teng burchakka akslanadi. Ammo ZaOl = ZbOl (shartga ko‘ra l nur aOb burchakning bissektrisasi). Har qanday nurga berilgan kattalikdagi ikkita burchakni qo‘yish mumkin. Shuning uchun l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmeriya- da a nurning aksi b nur, b nurning aksi esa a nurdir. Demak, l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyada aOb burchak o‘ziga-o‘zi akslanadi.
Burchakning bissektrisasini yasash berilgan burchakning simmetriya o‘qini yasashga keltiriladi, buni yuqoridagi teorema yordamida asoslash mumkin (110- rasm).
Natija. Teng yonli uchburchak uchidagi burchak bissektrisasi yotgan togW chiziq shu uchburchakning simmetriya o“qidir.
I sbot. ABC teng yonli uchburchak B burchagining bissektrisasi yotgan to‘g‘ri chiziqni l bilan belgilaymiz (111- rasm). Yuqorida isbotlangan teoremadan foydalanib, l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyada BA nurning aksi BC nur, BC nurning aksi esa BA nur ekanini aniqlaymiz. Shartga ko‘ra, AB = CB. Shu

50. 
    to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyada A nuqta C nuqtaga, C nuqta esa A nuq­taga o‘tadi.
    

B undan tashqari, o‘qqa nisbatan simmetriyaning ta’rifiga ko‘ra B o‘ziga-o‘zi akslanadi. Demak, l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyada ABC teng yonli uch­burchak o‘ziga-o‘zi akslanadi.
Teng tomonli uchburchakning bir nuqtadan o‘tuvchi uchta simmetriya o‘qi mavjud (112- rasm).

1. 
   masala. Teng tomonli (muntazam) oltiburchakning nechta simmetriya o‘qi bor?
   

Yechilishi. Oltita simmetriya o‘qi bor. Ulardan uchtasi qarama-qarshi uchlari orqali, qolgan uchtasi esa qarama-qarshi tomonlarining ortalari orqali o‘tadi (113- rasm).
Javob: oltita simmetriya o‘qi bor.

2. 
   masala. Aylananing markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar uning sim­metriya o‘qi bo‘lishini isbot qiling.
   

Isbot. O — aylananing markazi, l — O nuqta orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘lsin (114-rasm). Ravshanki, l to‘g‘ri chiziqqa simmetriyada aylananing B nuqtasi B₁ nuqtaga o‘tadi, O nuqta o‘ziga-o‘zi o‘tadi.
Aylanada ixtiyoriy X nuqta olamiz va l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik X₁ nuqtani yasaymiz.
OAX va OAX₁ uchburchaklar tengligining birinchi alomatga ko‘ra teng. Ularning A uchidagi burchaklari to‘g‘ri burchaklardir, OA tomon umumiy, AX va AX₁ tomonlar esa simmetriya ta’rifiga ko‘ra teng. Uchburchaklarning tengligidan OX va OX₁ tomonlar teng degan natija chiqadi, ya’ni X₁ nuqta aylanada yotadi. Bu esa l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyada aylananing o‘z-o‘ziga o‘tishini, ya’ni l to‘g‘ri chiziq aylananing simmetriya o‘qi ekanini bildiradi.
S