1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

Endi biror Q shaklni qaraylik (98- rasm). Shakl nuqtalardan tashkil topgan bo‘ladi.
Ta’rif. Agar Q₁ shaklning har bir nuqtasi biror l togW chiziqqa nisbatan Q shaklning nuqtalariga simmetrik bolsa, bunday shakllar l togW chiziqqa nis­batan simmetrik shakllar deb ataladi, l esa simmetriya o'qi deyiladi.

^97 I I A	1 T	1 .
A В a b	A В d	^A!

O ‘zaro simmetrik shakllardan biri ikkinchisining simmetrik aksi deb nomla- nadi. Albatta, agar Q shakl Q₁ shaklning simmetrik aksi bo‘lsa, Q₁ shakl ham Q shaklning simmetrik aksi bo‘ladi.
To‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik ikkita geometrik shakl o‘zaro tengdir.

2. 
   O‘qqa nisbatan simmetriyaning xossasi.
   

T eorema.
Shakl o‘qqa nisbatan simmetrik akslantirilganda uning nuqtalari orasidagi masofa o‘zgarmaydi, ya’ni saqlanadi.
Isbot. F shaklning l o‘qqa nisbatan simmetrik aksi F₁ bo‘lsin (99- rasm). F shaklning ixtiyoriy A va B nuqtalarini olaylik. Ularga simmetrik bo‘lgan nuq- talarni, mos ravishda, A₁ va B₁ bilan belgilaymiz. Bu yerda biz A va B nuqtalar l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan bir tomonda yotgan holni ko‘ramiz.
AB = A₁B₁ ekanini isbot qilishimiz kerak. Isbot qilish uchun AA₁ kesmaning l o‘qi bilan kesishgan nuqtasini C bilan, BB₁ kesmaning l o‘qi bilan kesishgan nuqtasini D bilan belgilaymiz. So‘ngra D nuqtani A va A₁ bilan tutashtiruvchi DA va DA₁ kesmalarni o‘tkazamiz. Hosil bo‘lgan ACD va A₁CD to‘g‘ri burchakli uchburchaklar o‘zaro teng (ikki katetiga ko‘ra), chunki ularda CD katet umumiy hamda A va A₁ — simmetrik nuqtalar bo‘lgani uchun AC = CA₁. Bundan AD = A₁D va ZADC =ZA₁DC kelib chiqadi.
Endi ADB va A₁DB₁ uchburchaklarni solishtiramiz. Bularda BD = B₁D, chunki B₁ nuqta B ga simmetrik. Yuqorida AD = A₁D ekanini isbot qildik.
ZADB = ZA₁DB₁, chunki ular o‘zaro teng bo‘lgan burchaklarni 90° ga to‘ldi- ruvchi burchaklar, ya’ni ZADB = 90° - ZADC va ZA₁DB₁ = 90° - ZA₁DC. Demak, qaralayotgan ADB va A₁DB₁ uchburchaklarda mos ikki tomon va ular orasidagi burchak teng ekan. Uchburchaklar tengligining birinchi alomatiga ko‘ra, bu uch­burchaklar teng. Bundan AB = A₁B₁ ekani kelib chiqadi.
Ma’lumki, A va B nuqtalarni ixtiyoriy oldik. Shunday hol bo‘lishi mumkinki, A, B, A₁ va B₁ nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotib qoladi. U holda ham teorema isboti simmetriya xossasidan oddiygina hosil qilinadi (100- rasm). Haqiqatan ham, AC=A₁C va BC = B₁C ekani ravshan. Shuning uchun AB = AC - BC va A₁B₁ = A₁C - B₁C, bundan AB = A₁B₁ kelib chiqadi.
Demak, F shaklning ixtiyoriy A va B nuqtalari orsidagi masofa l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyada o‘zgarmas ekan. Teorema isbotlandi.


O qqa nisbatan simmetriyada kesmaning uzunligi oZgarmaydi, shaklning joylashishi esa o“qqa nisbatan simmetrik boladi. Simmetriyada tog W chiziqlar tog W chiziqlarga o'tadi, bunda simmet- riya o“q/ga perpendikular togW chiziqlar oZ-oZga otadi, simmetriya o“qi esa o% joyida qoladi.
Ox (abssissalar) oqga nisbatan simmetriyada nuqtaning abssissasi oZ- garmaydi, ordinatasi esa qarama-qarshisiga oZgaradi (101- rasm).
Oy (ordinatalar) o'qiga nisbatan simmetriyada nuqtaning ordinatasi oZgarmaydi, abssissasi esa qarama-qarshisiga oZgaradi (101- rasm). O'qlarda yotgan nuqtaning koordinatalari o'zgarmaydi.

1. 
   m a s a l a. Sirkul va chizmachilik uchburchagi yordamida ABCD rombga CD to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik rombni yasang (102- rasm).
   

Yechilishi. 1) C va D uchlar, ya’ni simmetriya o‘qida yotgan nuqtalar o‘ziga-o‘zi o‘tadi.

2. 
   CD to‘g‘ri chiziqqa AE va BF perpendikularni o‘tkazamiz hamda ularni E va F nuqtalardan keyin AE va CF kesmalarga, mos ravishda, teng EA₁ va FBj kesmalar hosil bo‘lguncha davom ettiramiz. So‘ngra CB₁, DA₁ va A₁B₁ kesmalarni o‘tkazamiz.
   

Javob: A₁B₁CD robm — izlanayotgan shakl.

2. 
   ma s ala. AB kesma berilgan, bunda A(—4; 3) va B(3; 2) (103- rasm).
   

1. 
   Abssissalar o‘qiga nisbatan berilgan kesmaga simmetrik bo‘lgan A₁B₁ kesma uchlarining koordinatalarini toping.
   
2. 
   A BB^A₁ to‘rtburchak qanday shakl bo‘ladi?
   

Yechilishi. 1) Abssissalar o‘qiga nisbatan simmetriyada nuqtaning abssis- sasi o‘zgarmaydi, ordinatasi esa qarama-qarshisiga o‘zgaradi. Shuning uchun berilgan nuqtaga simmetrik bo‘lgan A₁B₁ kesmaning koordinadatalari quyidagicha bo‘ladi: A₁(-4; -3), B₁(3; -2).

2. 
   AA₁1| BB₁ va AB = A₁B₁ bo‘lgani uchun ABB^A₁ to‘rtburchak teng yonli tra­petsiya bo‘ladi.
   

Javob:1) A₁(-4; -3), B₁(3; -2); 2) ABB^A₁ to‘rtburchak — teng yonli tra- petsiya.
Savol, masala va topshiriqlar

183. 
     1) Qanday nuqtalar berilgan to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik nuq­talar deyiladi?
     

2. 
   Qanday shakllar berilgan to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik shakllar deyiladi?
   

183. 
     l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyada X nuqta X₁ nuqtaga o‘tadi. Shu simmetriyada Y o‘tadigan nuqtani yasang.
     
184. 
     1) A nuqta l o‘qqa nisbatan A₁ nuqtaga simmetrik, A₁ nuqta shu o‘qqa nisbatan A nuqtaga simmetrik, deyish to‘g‘rimi?
     

2. 
   F shakl l o‘qqa nisbatan F₁ shaklga simmetrik, F₁ shakl shu o‘qqa nis­batan F shaklga simmetrik, deyish to‘g‘rimi?
   

183. 
     Berilgan kesmaga berilgan o‘qqa nisbatan simmetrik kesmani yasang (104- rasm).
     
184. 
     105- rasmda ABC uchburchak va l to‘g‘ri chiziq tasvirlangan. l to‘g‘ri chiziqqa nisbatan ABC uchburchakka simmetrik bo‘lgan A₁B₁C₁ uchbur- chakni yasang.
     
185. 
     ABCD trapetsiya (AB || CD) berilgan. Bu trapetsiyaga: 1) CD to‘g‘ri chiziqqa; 2) AD to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetriyada bo‘lgan shaklni yasang.
     
186. 
     A (a; b) nuqta berilgan. Koordinata o‘qlariga nisbatan A nuqtaga sim­metrik nuqta qanday koordinatalarga ega bo‘ladi?
     
187. 
     Tekislikda A (4; 3), B (3; -2), C (-2; 2) va D(-1; -1) nuqtalar beril­gan. Bu nuqtalarga koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrik nuqtalarni yasang va ularning koordinatalarini yozing.
     
188. 
     B erilgan to‘rtburchakka berilgan o‘qqa nisbatan simmetrik bo‘lgan to‘rtburchakni yasang (106- rasm).
     

183. 
     A BCDE siniq chiziqqa berilgan l o‘qqa nisbatan simmetrik bo‘lgan siniq chiziqni yasang (107- rasm).
     
184.