1. 3-§. Sistema yechimining turg‘unligi

Isbot(2-teorema). Zaruriyligi. Aytaylik (1) sistemaning yechimi asimptotik turg‘un bo‘lsin, ya’ni
.
Bundan foydalanib (17) tengsizlikda da limitga o‘tsak, undan

kelib chiqadi.
(Yetarliligi). Faraz qilaylik, bo‘lsin. U holda matritsa chegaralangan bo‘lib, (1) sistemaning yechimi turg‘un bo‘ladi. Bundan tashqari (4) tenglikdan

hosil bo‘ladi. Bu esa yyechimning asimptotik turg‘un ekanligini ko‘rsatadi. 2-teorema isbotlandi.■
Isbot (3-teorema). Zaruriyligi. Faraz qilaylik, (1) sistemaning yechimi turg‘un bo‘lmasin. U holda matritsa oraliqda chegaralanmagan bo‘ladi. Aks holda matritsaning chegaralanganligidan yyechimning turg‘unligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik matritsa oraliqda chegaralanmagan bo‘lsin, ya’ni shunday monoton o‘suvchi

ketma-ketlik topilib,

munosabat bajarilsin.
Endi (1) sistemaning

boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini shunday tanlaymizki, natijada quyidagi

munosabatlar bajarilsin. Bunday tuzilgan yechim uchun ushbu

tenglikning bajarilishi ravshan. SHuning uchun quyidagi

munosabat o‘rinli. Bu esa ayirmaning moduli qanchalik kichik bo‘lganda ham funksiya va chegaralanmagandir. SHuning uchun (10) sistemaning yechimi turg‘un bo‘lmaydi (noturg‘un bo‘ladi). 3-teorema isbotlandi.■
Endi ushbu
(18)
ko‘rinishidagi bir jinsli chiziqli differensial tenglama yechimini turg‘unlikka tekshiramiz.
4-teorema. (18) differensial tenglama yechimining turg‘un bo‘lishi uchun quyidagi
(19)
shartning bajarilishi zarur va etarli.
Isbot. (Zarurligi). Faraz qilaylik (18) differensial tenglamaning yechimi turg‘un bo‘lsin. U holda (18) differensial tenglamaning
(20)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi
(21)
formula orqali topiladi. Endi (18) differensial tenglamining ushbu
(22)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz. U holda va yechimlar ayirmasi uchun quyidagi
(23)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. (9) differensial tenglama yechimining turg‘unligidan, ya’ni ixtiyoriy uchun shunday soni topilib tengsizlikning bajarilishidan bahoning bajarilishi kelib chiqadi. Bundan va (23) tenglikdan
(24)
tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlik bajarilishi uchun

bo‘lishi lozim.
Yetarliligi. Aytaylik (19) tengsizlik bajarilsin. U holda shunday soni topilib
(25)
o‘rinli bo‘ladi. Ixtiyoriy soni uchun sonini deb olamiz. U holda yechimlarning nuqtadagi boshlang‘ich shartlari tengsizlikni qanoatlantirganda

baho ixtiyoriy uchun bajarilidi. Bu esa (18) differensial tenglamaning yechimi turg‘un ekanligini bildiradi.