1. 3-§. Sistema yechimining turg‘unligi

1.3-§. Sistema yechimining turg‘unligi

Ushbu
(10)

differensial tenglamalar sistemasini qaraylik. Bu yerda kvadrat matritsa funksiya tengsizlikni qanaotlantiruvchi barcha larda uzluksiz va chegaralangan bo‘lsin.
Aytaylik vektor-funksiyalar (1) sistemaning ushbu
(11)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlaridan iborat bo‘lsin. Bunda
. (12)
Berilgan (10), (11) Koshi masalasining yechimlaridan tuzilgan -Vronskiy determinantining nuqtadagi qiymati uchun

munosabat o‘rinli. SHuning uchun vektor-funksiyalar (10) differensial tenglamalar sistemasining chiziqli erkli yechimlari bo‘ladi.
Ushbu

matritsa funksiya (10) differensial tenglamalar sistemasining fundamental matritsasi yoki matritsanti bo‘lib boshlang‘ich shartni va quyidagi

matrisaviy differensial tenglamani qanoatlantiradi. Bu yerda -birlik matritsa. Bundan foydalanib (10) sistemaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini quyidagicha yozish mumkin:
.
Endi (10) sistemaning boshlang‘ich shartni qanotlantiruvchi yechimini deb belgilaylik. U holda

munosabat o‘rinli bo‘lishi ravshan. Ko‘rinib turibdiki va yechimlar ayirmasi uchun
(13)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Oxirgi tenglikdan ko‘rinib turibdiki (10) sistema yechimini turg‘unlikka tekshirishda, uning -matritsanti asosiy ro‘lni o‘ynaydi.
1-teorema. Bir jinsli (10) differensial tenglamalar sistemasining yechimi turg‘un bo‘lishi uchun, uning fundamental matritsasi oraliqda chegaralangan bo‘lishi zarur va etarli.
2-teorema. Bir jinsli (10) differensial tenglamalar sistemasining yechimi asimptotik turg‘un bo‘lishi uchun ushbu

munosabatning bajarilishi zarur va etarli. Bu yerda belgi - matritsaning normasini bildiradi.
3-teorema. Bir jinsli (10) differensial tenglamalar sistemasining yechimi turg‘un bo‘lmasligi uchun matritsaning oraliqda chegaralanmagan bo‘lishi zarur va etarli.
Endi yuqoridagi teoremalarning isbotlarini keltiramiz.
Isbot (1-teorema) Zaruriyligi. Aytaylik (10) differensial tenglamalar sistemasining yechimi turg‘un bo‘lsin. U holda ixtiyoriy soni uchun shunday soni topilib
(14)
tengsizlikning bajarilishidan ushbu
(15)
bahoning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Avvalo (13) tenglikni quyidagicha yozib olamiz:
. (16)
Bu tenglikda quyidagi
,
munosabatlardan va (15) tengsizlikdan foydalansak ushbu
(17)
bahoga ega bo‘lamiz. Bundan

kelib chiqadi. Bu esa matritsaning oraliqda chegaralanganligini ko‘rsatadi.
Yetarliligi. Aytaylik matritsa oraliqda chegaralangan, ya’ni shunday M>0 soni mavjud bo‘lib

baho o‘rinli bo‘lsin. Bu holda (1) sistemaning ixtiyoriy yechimi uchun

tengsizlik bajariladi. Ixtiyoriy soni uchun sonini deb tanlasak, u holda

tengsizligining bajarilishidan

bahoning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa (1) sistemaning yechimini turg‘unligini bildiradi. 2-teorema isbotlandi.■