1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

7-mashq.

7.1. E to’plam [0;1] kesmaning o’lchovi 0 ga teng bo’lgan qism to’plami. ning ham o’lchovi 0 ga teng bo’ladimi?

7.2. [0;1] kesmada zich, o’lchovi 0 ga teng bo’lgan sanoqsiz to’plam mavjudmi?

7.3. kesmada o’lchovi ga teng bo’lgan, dan farqli yopiq to’plam tuzish mumkinmi?

7.4. [0;1] kesmaning hech qaerida zich bo’lmagan, o’lchovi 0,9 ga teng bo’lgan mukammal to’plam tuzing.

7.5. [0;1] kesmaning hech qayerida zich bo’lmagan, o’lchovi ga teng bo’lgan mukammal to’plam tuzing.

7.6. [0;1] kesmada shartni qanoatlantiruvchi ikkita o’lchovli to’plamlar berilgan. ekanini isbotlang.

7.7. to’plamlar [0;1] segmentning o’lchovli qismlari bo’lib, bo’lsa, tengsizlikni isbotlang.

7.8. musbat o’lchovli to’plam bo’lsin. U holda ko’paytmasi irratsional son bo’ladigan shunday sonlar topilishini isbotlang.

7.9. tekislikda no’plamni quyidagicha aniqlaymiz: kvadratni to’g’ri chiziqlar yordamida 9 ta bir hildagi yopiq kvadratchalarga ajratamiz. Markazida joylashgan ochiq kvadratchani chiqarib tashlaymiz. Qolgan 8 ta kvadratchani ham huddi shunday 9 ta kvadratchalarga ajratib markazda joylashganini chiqarib tashlaymiz. Bu jarayonni sanoqli marta davom ettirib qolgan to’plamni orqali belgilaymiz va bu to’plamga Serpinskiy gilami deyiladi. Serpinskiy gilamining Lebeg o’lchovini toping.

7.10. tekislikda no’plamni quyidagicha aniqlaymiz: kvadratni to’g’ri chiziqlar yordamida 9 ta bir hildagi yopiq kvadratchalarga ajratamiz. Berilgan kvadrat uchlariga yopishgan 4 ta kvadratni birinchi rangdagi kvadratchalar deymiz va ularning birlashmasini orqali belgilaymiz. Har bir birinchi rangdagi kvadrachalarni yana 9 ta teng kvadratchaga ajratib bo’lingan kvadratning uchiga yopishgan 16 ta kvadratchalar birlashmasini orqali belgilaymiz va hokazo shu jarayonni cheksiz davom ettirib to’plamlar ketma-ketligini hosil qilamiz. to’plamga Serpinskiy qabristoni deyiladi. Serpinskiy qabristonining Lebeg o’lchovini toping.

7.11. D-[0;1] segmentdagi Kantor to’plami bo’lsa, to’plamni o’lchovini toping.

7.12. D-[0;1] segmentdagi Kantor to’plami bo’lsa, to’plamni o’lchovini toping.

7.13. – o’lchovli to’plam bo’lib, . U holda ixtiyoriy soni uchun bo’ladigan o’lchovli to’plam mavjudligini isbotlang.

7.14. to’plamning hech qayerida zich bo’lmagan, o’lchovi ga teng bo’lgan mukammal to’plam tuzing.

7.15. [0;1] kesmani o’zaro kesishmaydigan, o’lchovli A va to’plamlarga quyidagi uchun .

shartlar bajariladigan qilib ajratish mumkinmi?