|
Лекция: 1.3: Статистическое изучение сложных процентов.
План: 1) Сложные проценты.
2) Номинальная и эффективная ставки процентов.
3) Учет по сложным процентам;
4) Учет по сложной учетной ставке.
Опорные слова: сложные проценты, капитализация процентов, номинальная ставка процентов, эффективная ставка процентов, дисконтирования по сложным процентам.
В краткосрочных финансовых операциях применяются простые проценты. Долгосрочные операции, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, требуют иного подхода. Они базируются на сложных процентах. В соответствии с этим процесс роста первоначальной суммы долга или платёжа (Р) происходит с ускорением. Ускорение вызвано тем, что на каждом шаге во времени (раз или несколько раз в год) начисленные проценты присоединяются к сумме, которая служила базой для их определения. Этот процесс называют капитализацией процентов.
23
Пусть проценты капитализируются в конце каждого временного интервала (год, полугодие, квартал, ….). Найдём формулу для определения наращенной суммы (S) при условии, что проценты начисляются и капитализируются один роз в год (годовые проценты). Пусть:
i – ставка процентов;
Р – первоначальная сумма долга;
S – наращения сумма долга;
n – число лет наращения;
В конце n – го года наращенная сумма составит:
S=P(1+i)n (1)
Точность расчета множителя наращения (1+i)n определяется допустимой степенью округления этой суммы. Расчет ведется до последней денежной единицы.
Например: В какую сумму обратится долг, равный 10 тысяч сумму, через 3 года при сложных процентах i=0,25.
S=P(1+i)n=10000(1+0.25)3=10000*1.953125=1953312.5 сум.
Сопоставление формул наращения по простым и сложным процентам позволят сформулировать важные в практическом отношении выводы:
если n>1, то (1+ni)<(1+i)n
если n=1, то (1+ni)=(1+i)n
если n<1, то (1+ni)>(1+i)n
24
где n – число периодов начисления процентов.
Ставку простых процентов, эквивалентную ставке сложных процентов находим с помощью следующей формулы:
(2)
Ставка сложных процентов эквивалентная простым, находится по формуле:
(3)
Допустим, что ставка сложных процентов =0,25 какова должна быть эквивалентная ставка простых процентов при сроке кредита 5 лет?
или 41,04%
В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в год. Число раз начисления процентов в году обязательно фиксируются в условиях договора. Кроме того, обычно указывается и годовая ставка процентов, которая в этом случае получила название номинальной. Номинальная ставка является основой для определения той ставки, которая действительно начисляется в каждом периода. Наращенную сумму в этом случая получим с помощью следующей формулы:
25
(4)
Где: R – номинальная ставка процентов
n – срок долга
m – число начисления процентов в течении года;
Р – первоначальная сумма долга. (или платежа).
Под эффективной ставкой процентов понимают ту реальную прибыль, которую получают от одной денежной единицы в целом за год. Эффективная ставка эквивалентна номинальной ставке при начислении процентов m раз в год. Она показывает, какая годовая ставка дает тот же эффект, что и m – разовое наращивание в год по ставке R:m
(5)
Замена в договоре номинальной ставки R при условии, что она начисляется m раз в год, на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Если известны i и m, то номинальная ставка составит:
(6)
В практика встречаются случаи, когда общий срок ссуды измеряется дробным числом. Представим, общая протяженность срока ссуда n в виде суммы числа полных
26
периодов начисления процентов ml и дробной части одного периода начисления , тоeсть, n=ml+.
Тогда наращенная сумма определяется:
(7)
При начисления годовых процентов (n=l+):
(8)
Пример: n=27 месяцев
m=2 раз в год.
n=27:12:2=4,2
l=2. ml=4
=0,2
P=10000 сум.
R=20%
Для дисконтирования по сложным процентом решим следующего уравнения относительно Р:
S==P(1+i)n
Отсюда : P=S(1+i) n =S*v n (9)
Где: V n =1:(1+i) n =(1+i) -n
27
V n называют дисконтным или учетным множителем.
Если проценты начисляются m раз в год:
P=S:(1+ (10)
Если применяется учет по сложной учетной ставке, тогда для года, отстоящего от срока платежа на n лет имеем следующую формулу:
P=S(1-d) n (11)
Величина (1-d) n – называется дисконтным множителем.
Пример: d=20%;
S=10000 сум.
n=5 лет
P=10000(1-0,25)5 =10000*0,32768=3276,8 сум.
Если учет осуществляется не один, а m раз в год, то первоначальную сумму определим:
(12)
Где: f – номинальная ставка процентов.
m – число начисления процентов в году.
n – длительность или срок платежа.
В статистической практике сталкиваются с необходимостью определения числа периодов
28
наращения и ставки процентов или учетной ставки. В этом случае определим срок ссуды:
а) при применении ставки процентов:
(13)
б) при применении учетной ставки
(14)
Найдем ставку процентов и учетную ставку:
(15)
(16)
Контрольные вопросы.
1) Что такое капитализация?
2) Как определяется наращенная сумма по сложной ставке процентов?
3) Какое имеет значение срок (длительность) долга при начислении процентов?
4) Найдите ставку простых процентов, эквивалентную ставку 25 сложных процентов при n=3 года?
5) Определите наращенную сумму долга при номинальной ставке процентов?
29
6) Что такое эффективная ставка процентов?
7) Как определяется наращенная сумма платежа, если срок ссуды равен 3 годам и 5 месяцев (годовые проценты)?
8) Как определяется первоначальная сумма по сложным процентам?
9) Дисконтирования по сложной учетной ставке?
10)Как определяется срок ссуды при заданной S,P,i,d
Do'stlaringiz bilan baham: |
