§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха


Отделимость выпуклых множеств в линейном простран­стве



Download 48,05 Kb.
bet6/6
Sana10.07.2022
Hajmi48,05 Kb.
#771655
1   2   3   4   5   6
Bog'liq
Лекция№20

5. Отделимость выпуклых множеств в линейном простран­стве. Пусть — действительное линейное пространство, а и — два его подмножества. Говорят, что определенный на линейный функционал разделяет эти множества, если суще­ствует такое число , что
при и при , т. е. Если

Функционал называется строго разделяющим множества и , если выполнено строгое неравенство

Следующие два утверждения непосредственно вытекают из определения разделимости.

  1. Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда он разделяет множества и (т. е. множества всех элементов вида , где , и точку 0).

  2. Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда при каждом он разде­ляет множества и .

Из теоремы Хана — Банаха легко получается следующая теорема об отделимости выпуклых множеств в линейном про­странстве, имеющая многочисленные применения.
Теорема 5. Пусть и — выпуклые множества в дей­ствительном линейном пространстве , причем ядро хотя бы одного из них, скажем , не пусто и не пересекается с другим множеством. Тогда существует ненулевой линейный функционал. на , разделяющий и .
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что точка 0 принадлежит ядру множества . (Иначе мы рассмотрели бы множества и где Пусть , тогда точка принадлежит ядру множества а 0 принадлежит ядру множества Так как , то 0 не принадлежит ядру и . Пусть — функционал Минковского для . Тогда поскольку . Введем линейный функционал

Он определен на одномерном пространстве, состоящем из эле­ментов вида , и удовлетворяет условию

поскольку при , и при . По теореме Хана — Банаха функционал . можно продолжить до линейного функционала , определенного на всем и удовлетворяющего на условию и . Отсю­да следует, что при и в то же время . Таким образом, разделяет множества и , а следователь­но, разделяет и {0}; но тогда разделяет множества и .
Теорема доказана.
Download 48,05 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish