§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха

§ 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы.
Теорема Хана — Банаха
Выпуклые множества и выпуклые тела. В основе
многих важных разделов теории линейных пространств лежит понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические пред­ставления, но вместе с тем допускает и чисто аналитическую формулировку.
Пусть некоторое линейное действительное про­странство и — две его точки. Назовем замкнутым отрезком в , соединяющим точки и , совокупность всех элементов вида
, где .
Отрезок без концевых точек и называется открытым от­резком.
Множество называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками и содержит и соединяющий их отрезок.
Назовем ядром произвольного множества сово­купность таких его точек , что для каждого найдется та­кое число , что при .
Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом.
Примеры. 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве — выпуклые множества, но не выпуклые тела.
2. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на от­резке множество функций, удовлетворяющих условию . Это множество выпукло; действительно, если и , то при

Упражнение. Проверить, является ли это множество выпуклым телом.
3. Единичный шар , т. е. совокупность таких точек что есть выпуклое тело. Его ядро состоит из точек , удовлетворяющих условию
4. Основной параллелепипед в — выпуклое множество, но не выпуклое тело. В самом деле, пусть ; это означает, что для всех . Положим . Пусть , т. е. ; тогда

откуда , т. е. ядро множества пусто.
Упражнения. 1. Пусть совокупность точек из , удовлетворяющих условию .Доказать, что выпуклое множество, но не выпуклое тело.
2. Доказать то же самое для множества точек в , каждая из которых ймеет лишь конечное число отличных от нуля координат.
Если выпуклое множество, то его ядро тоже вы­пукло. Действительно, пусть и Тогда для данного найдутся такие и , что при , точки и принадлежат множеству , следовательно, ему принадлежит и точка при т. е.
Установим следующее важное свойство выпуклых множеств.