§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха

Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Доказательство. Пусть и все — выпуклые множества. Пусть, далее, и — две произвольные точки из .Тогда отрезок, соединяющий точки и принадлежит каждому , а следовательно, и . Таким образом, действи­тельно выпукло.
Заметим, что пересечение выпуклых тел (будучи выпуклым множеством) не обязано быть выпуклым телом (приведите пример).
Для произвольного множества в линейном пространстве существует наименьшее выпуклое множество, которое его со­держит; им будет пересечение всех выпуклых множеств, со­держащих (по крайней мере одно выпуклое множество, содержащее , существует — это все ). Минимальное выпуклое множество, содержащее , мы назовем выпуклой оболочкой множества .
Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки. Пусть — точки некоторого линейного пространства. Мы скажем, что эти точки находятся в общем положении, если векторы линейно независимы. (Этo равносильно тому, что из и вытекает, что ). Выпуклая оболочка точек находящихся в общем положении, называется п-мерным симплексом, а сами точки — его вер­шинами. Нульмерный симплекс — это одна точка. Одномерный симплекс — отрезок, двумерный — треугольник, трехмерный — тетраэдр.
Если точки находятся в общем положении, то любые из них ( ) также находятся в общем поло­жении и, следовательно, порождают некоторый - мерный сим­плекс, называемый - мерной гранью данного -мерного сим­плекса. Например, тетраэдр с вершинами имеет четыре двумерные грани, определяемые соответственно трой­ками вершин шесть одномерных граней и четыре нульмерных.
Теорема 2. Симплекс с вершинами есть совокупность всех точек, которые можно представить в виде
(1)
Доказательство. Легко проверить, что совокупность точек вида (1) представляет собой выпуклое множество, содер­жащее точки .С другой стороны, всякое выпук­лое множество, содержащее эти точки, должно содержать и точки вида (1); следовательно, является наименьшим вы­пуклым множеством, содержащим точки .
2. Однородно-выпуклые функционалы. С понятием выпук­лого множества тесно связано важное понятие однородно-вы­пуклого функционала. Пусть —действительное линейное про­странство. Определенный на функционал называется вы­пуклым, если
(2)
для всех и .
Функционал называется положительно-однородным, если
для всех и всех . (3)

Для выпуклого положительно-однородного функционала вы­полнено неравенство:
( )
Действительно
.
Легко понять, что условие ( ) вместе с условием (3) обеспе­чивает выпуклость функционала . Положительно-однородный выпуклый функционал мы будем называть короче однородновыпуклым. Укажем некоторые простейшие свойства однородно- выпуклых функционалов.

1. 
   Полагая в равенстве (3) , получае
   

(4)

2. 
   Из ( ) и (4) следует, что
   

для всех (5)
Это неравенство означает, в частности, что если , то обязательно . Таким образом, ненулевой однородно- выпуклый функционал может быть всюду неотрицателен, но если всюду , то .

3. 
   При любом
   

.
При это следует из (3), при — из (4); если же , то в силу (5) получаем

т. е.
.
Примеры. 1. Всякий линейный функционал является, оче­видно, однородно-выпуклым. Однородно-выпуклым будет и функционал , если линеен.

2. 
   Длина вектора в п-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый функционал. Здесь условие (2') означает, что длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (3) непосредственно следует из определения длины вектора в .
   
3. 
   Пусть — пространство ограниченных последовательно­стей . Функционал
   

— однородно-выпуклый.
3. Функционал Мннковского. Пусть — произвольное ли­нейное пространство и — выпуклое тело в , ядро которого содержит точку 0. Функционал (6)