§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха



Download 48,05 Kb.
bet4/6
Sana10.07.2022
Hajmi48,05 Kb.
#771655
1   2   3   4   5   6
Bog'liq
Лекция№20

4. Теорема Хана — Банаха. Пусть — действительное ли­нейное пространство и — некоторое его подпространство. Пусть, далее, на подпространстве задан некоторый линейный: функционал . Линейный функционал , определенный на всем пространстве , называется продолжением функционала , если
для всех
Задача о продолжении линейного функционала часто встре­чается в анализе. Основную роль во всем этом круге вопросов^ играет следующая теорема.
Теорема 4 (Хан —Банах). Пусть — однородно-выпук­лый функционал, определенный на действительном линейном: пространстве , и пусть — линейное подпространство в . Если — линейный функционал на , подчиненный на функ­ционалу , т. е. если на
(9)
то может быть продолжен до линейного функционала на подчиненного на всем .
Доказательство. Покажем, что если , то функ­ционал можно продолжить с на некоторое большее под­пространство с сохранением условия (9). Действительно», пусть — произвольный элемент из L, не принадлежащий и пусть — подпространство, порожденное и . Каждый элемент из имеет вид , где .
Если — искомое продолжение функционала на , то

или, если положить ,
.
Теперь выберем с так, чтобы сохранить на условие подчине­ния (9), т.е. так, чтобы при всех и всех действительных выполнялось неравенство . При оно равносильно условию
или ,
a при — условию

или

Покажем, что всегда существует число , удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть и — произвольные элементы из . Тогда
(10)
Это вытекает из неравенства
.
Положим

Из (10' в силу произвольности у' и у" следует, что . Вы­брав так, что , определим функционал на формулой
.
Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (9).
Итак, мы показали, что если функционал определен на не­котором подпространстве и удовлетворяет на усло­вию (9), то можно продолжить с сохранением этого условия да некоторое большее подпространство .
Если в можно выбрать счетную систему элементов , порождающую все , то функционал на строим но индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпрост­ранст

(здесь означает минимальное линейное подпростран­ство в , содержащее и . Тогда каждый элемент жойдет в некоторое и, следовательно, функционал будет про­должен на все .
В общем случае (т. е. когда счетного множества, порождаю­щего , не существует) доказательство заканчивается примене­нием леммы Цорна. Совокупность всевозможных продолже­ний функционала , удовлетворяющих условию подчинения (9), частично упорядочена, и каждое ее линейно упорядоченное подмножество обладает верхней гранью; этой верхней гранью служит функционал, определенный на объединении об­ластей определения функционалов и совпадающий с каждым таким на его области определения. В силу леммы Цорна во всем существует максимальный элемент . Этот максимальный элемент и представляет собой искомый функ­ционал. Действительно, он является продолжением исходного функционала удовлетворяет условию (9) на своей области определения и задан на всем , так как иначе мы продолжили, бы его описанным выше способом с того собственного подпро­странства, на котором он определен, на большее подпростран­ство, и не был бы максимальным.
Теорема доказана.
Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Ба­наха.
Неотрицательный функционал на комплексном линей­ном пространстве называется однородно-выпуклым, если для всех и всех комплексных чисел


Теорема 4а. Пусть — однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве , — линейный функционал, определенный на некотором линейном подпрост­ранстве и удовлетворяющий на нем условию
.

Download 48,05 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish