Xosmas integrallar

Xosmas integrallar
Funksiyaning aniq integralini o‘rganishda integrallash oralig‘i ning chekliligi hamda funksiyaning uzluksiz bo‘lishi talab etildi. Ba’zan bu ikki talabdan biri yoki ikkilasi bajarilmay qolishi mumkin. Mana shunday hollarda funksiya integrali tushushunchasi yordamida hal qilinadigan masalalarning mavjudligi integral tushunchasining shu hollar uchun umumlashtirishni taqazo etadi.

Cheksiz oraliq bo‘yicha integral

Aytaylik, funksiya oraliqda uzluksiz bo‘lsin.

U holda integral mavjud bo‘lib, uning qiymati  ga bog‘liq bo‘ladi.

Ushbu (1)

limit funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

.

Misollar. 1. Ushbu integral topilsin.

Ravshanki, funksiya da uzluksiz va

bo‘ladi. da limitga o‘tib topamiz:

.

Demak, .

2. Ushbu integral topilsin.

Xosmas integral tushunchasidan foydalanib topamiz: .
3. Ushbu topilsin.

Bu funksiyaning oraliq bo‘yicha xosmas integrali mavjud bo‘lmaydi,chunki,

limit mavjud emas.

Agar (1) limit mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa, (2) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Masalan, xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Agar (1) limit cheksiz yoki mavjud bo‘lmasa, (2) xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi,

xosmas integrallar uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Aytaylik, funksiya da uzluksiz bo‘lishidan tashqari da bo‘lsin. U holda

(u olingan ga bog‘liq, ) ning funksiyasi sifatida o‘suvchi bo‘ladi.

Haqiqatan ham, uchun bo‘lib,

bo‘lganligi sababli

bo‘ladi.

Bu holda ixtiyoriy uchun ( – o‘zgarmas son) tengsizlik bajarilsa,

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Faraz qilaylik, xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lib, funksiya boshlang‘ich ga ega bo‘lsin .

U holda

bo‘ladi. Agar

deyilsa, keyingi tenglikdan

(3)

bo‘lishi kelib chiqadi.

Misol. Ushbu integral hisoblansin.

Ravshanki, integral ostidagi funksiya uchun

boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. (3) formuladan foydalanib topamiz:

.

Musbat funksiyaning xosmas integrali funksiya grafigi tasvirlovchi egri chiziq, o‘qi hamda vertikal chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzini ifodalaydi:

Eslatma. Ushbu xosmas integrallar quyidagicha

kiritiladi.

Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali

Aytaylik, funksiya nuqtaning atrofida chegaralanmagan bo‘lsin.

Ravshanki, bu funksiya da uzluksiz va integral ga bog‘liq bo‘ladi.

Ushbu (4)

limit chegeralanmagan funksiyaning xosmas integrali deyiladi va quyidagicha

(5)

belgilanadi: .

Misollar. 1. Ushbu integral topilsin.

Integral ostidagi funksiya da uzluksiz va

bo‘ladi. da limitga o‘tib topamiz .

Demak, .

2. Ushbu integral topilsin.

Xosmas integral tushunchasidan foydalanib topamiz:



.
Agar (4) limit mavjud bo‘lib, u chekli bo‘lsa, (5) xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.

Masalan, xosmas integral yaqinlashuvchi.

Agar (4) limit cheksiz yoki u mavjud bo‘lmasa (5) xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.

Masalan, xosmas integral uzoqlashuvchi.

Faraz qilaylik, xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lib, da uzluksiz uchun

bo‘lsin. U holda

bo‘ladi. Bu

(6)

formula yoqdamida xosmas integrallar hisoblanadi.

Misol. Ushbu integral hisoblansin.

Integral ostidagi funksiya uchun boshlang‘ich funksiya

bo‘ladi, chunki

(6) formuladan foydalanib topamiz: