To’liq to’rtuchlik va uning garmonik xossalari. Ta'rif

---

To’liq to’rtuchlik va uning garmonik xossalari. 
1. Ta'rif. 
Agar to‘rtta A, B, C, D nuqtaning murakkab nisbati (ABCD) = - 1 
bo‘lsa, A, B, C, D nuqtalarni garmonik joylashgan deyiladi. Nuqtalarning 
garmonik to‘rtligi proyektiv geometriyada muhim rol o‘ynaydi va ajoyib 
xossalarga ega. 
1. S, D 

A, B

A, B 

C, D. 
Bu xossa ta'rifdan beBosita kelib chiqadi. 
2. Agar A, B, C, D garmonik nuqtalar bo‘lsa, nuqtalar juftlarining o‘rinlarini 
almashtirsak va har bir juftdagi nuqtalarning o‘rinlarini ham almashtirsak, 
garmonik to‘rtlikning murakkab nisbati o‘zgarmaydi.Bu xossadan, agar 
(ABCD) = - 1 bo‘lsa, (BA CD) = (AB DC) = (CDAB)= (DCAB) = (CDBA) = 
=(DCBA) = - 1 
munosabatlar kelib chiqadi. 
Ta'rif.
Har uchtasi bir to‘g‘ri chiziqda 
yotmaydigan to‘rtta P, Q, R, S nuqtalar
Ba bu nuqtalarning har ikkitasi orqali o‘tuvchi oltita 
to‘g‘ri chiziqdan iborat figura to‘liq 
to‘rt uchlik
deb 
ataladi. 
Nuqtalar to‘rtuchlikning uchlari, bu nuqtalarni birlashtiruvchi to‘g‘ri
chiziqlar uning tomonlari deyiladi
(V.1-chizma).To‘liq to‘rt uchlikning RP Ba QS, PS Ba RQ, RS Ba PQ qarama-
qarshi tomonlari mos ravishda A, B, T nuqtalarda kesishadi, bu nuqtalarni
to‘rt uchlikning diagonal nuqtalari, ularni birlashtiruvchi AT, TB Ba AB to‘g‘ri 
chiziqlar esa diagonallari deyiladi. Uchinchi diagonal nuqta T dan o‘tuBchi RQ va 
RS tomonlarning AB diagonal bilan kesishgan nuqtalarini C, D deb
V.1 - chizmani olaylik. Biz 
(ABCD) = — 1 (1) 
ekanligini isbot qilamiz. 
R nuqtani markaz qilib A, B, C, D nuqtalarni PQ to‘g‘ri chiziqqa proektsiyalab, 
ushbu munosabatga ega bo‘lamiz: 
(ABCD) = (QRTD). (2) 
S nuqtani markaz qilib Q, R, T, D nuqtalarni AB to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyalab, 
quyidagini hosil qilamiz: 
(QRTD) = (BACD) (3) 
(2) Ba (3) larni e'tiborga olib, 

---

(ABCD) = (BACD) 
ni yoza olamiz. 
Murakkab nisbat xossasiga asosan: 
(ABCD) = (ABCD)
-1
, 
bundan 
(ABCD) = ± 1. 
(ABCD) = 1 tenglik yuz berishi mumkin emas, chunki bu holda C, D nuqtalar
ustma- ust tushadi, demak, TC Ba TD to‘g‘ri chiziqlar ham ustma- ust tushadi. Bu
esa R, Q, R, S nuqtalar bir to‘g‘ri chiziqda yotadi, degan natijaga keltiradi, bu 
shartga ziddir. Shuning uchun: 
(ABCD) = - 1, 
(2)

(QPTD) = -1 
Shunday qilib, quyidagicha teoremani isbotladik. 
Teorema.
1) To‘liq to‘rt uchlikning har bir diagonalida birinchi jufti diagonal 
nuqtalardan, ikkinchi jufti esa uchinchi diagonal nuqtadan o‘tuvchi qarama- qarshi 
tomonlarning bu diagonal bilan kesishishidan hosil bo‘lgan nuqtalarning garmonik 
to‘rtligi mavjud. 
2) To‘liq to‘rt uchlikning har bir tomonida birinchi jufti to‘rt uchlikning 
uchlaridan, ikkinchi jufti diagonal nuqta va bu tomon bilan qolgan ikkita diagonal 
nuqtalaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning kesishishidan hosil bo‘lgan nuqtalarning 
garmonik to‘rtligi mavjud.Agar 

D
cheksiz uzoq nuqtani bildirsa, 
;
1
),
(
)
(






CB
AC
ABC
ABCD
AC = BC. 
Demak, C nuqta AB kesmaning o‘rta nuqtasi bo‘ladi. 
M a s a l a
. Berilgan uchta A, B, C nuqtaga garmonik to‘rtinchi D nuqtani 
yasang. 
Yechish.
A, B - diagonal nuqtalari, AB - diagonal to‘g‘ri chiziqi bo‘lgan to‘liq 
to‘rt uchlikni yasaylik. Buning uchun A nuqta orqali 
ixtiyoriy ikkita to‘g‘ri chiziq, C nuqta orqali esa bitta 
to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz (V.2-chizma). Bu to‘g‘ri 
chiziqlarning kesishgan nuqtalarini X, Y bilan 
belgilaymiz, ular to‘liq to‘rt uchlikning uchlari bo‘ladi. 
Shunga o‘xshash to‘rt uchlikning qolgan uchlari - Z, T 
nuqtalarni topamiz. TB to‘g‘ri chiziq bilan AB to‘g‘ri 
chiziqninq kesishish nuqtasi izlangan D nuqta bo‘ladi