To‘la ehtimollik va Bayes formulalari

To‘la ehtimollik va Bayes formulalari

juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la gruppani tashkil etsin, ya’ni va . U holda ekanligini hisobga olib, ni ko‘rinishda yozamiz. ekanligidan ekani kelib chiqadi. hodisaning ehtimolligini hisoblaymiz:

. (1.12.1)

Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra bo‘ladi. Bu tenglikni (1.12.1) ga qo‘llasak,

.

• 
  Agar bo‘lsa, u holda
  

(1.12.2)

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglik to‘la ehtimollik formulasi deyiladi.

1.11-masala. Detallar partiyasi uch ishchi tomonidan tayyorlanadi. Birinchi ishchi barcha detallarning 25%ini, ikkinchi ishchi 35%ini, uchinchsi esa 40%ini tayyorlaydi. Bu uchchala ishchining tayyorlagan detallarining sifatsiz bo‘lish ehtimolliklari mos ravishda 0.05,0.04 va 0.02 ga teng bo‘lsa, tekshirish uchun partiyadan olingan detalning sifatsiz bo‘lish ehtimolligini toping.
A_i={detal i-ishchi tomonidan tayyorlangan} , B={tekshirish uchun olingan detal sifatsiz} hodisalarni kiritamiz va quyidagi ehtimolliklarni hisoblaymiz:
,


. To‘la ehtimollik formulasiga asosan .


va hodisalar ko‘paytmasi uchun


(1.12.3)
(1.12.4)

tengliklar o‘rinli. (1.12.3) va (1.12.4) tengliklardan quyidagilarni hosil qilamiz:

,


. (1.12.5)
Bu yerda . (1.12.5) tenglik Bayes formulasi deyiladi. Bayes formulasi yana gipotezalar teoremasi deb ham ataladi. Agar hodisalarni gipotezalar deb olsak, u holda ehtimollik gipotezaning aprior(“a priori” lotincha tajribagacha), shartli ehtimollik esa aposterior(“a posteriori” tajribadan keyingi) ehtimolligi deyiladi.
1.12-masala. 1.11-misolda sifatsiz detal ikkinchi ishchi tomonidan tayyorlangan bo‘lishi ehtimolligini toping. Bayes formulasiga ko‘ra:


.