Тўла дифференциалли тенгламалар. Интегралловчи кўпайтувчи

Тўла дифференциалли тенгламалар. Интегралловчи кўпайтувчи

Р Е Ж А:

• 
  Тўлиқ дифференциал тушунчаси.
  
• 
  Тўла дифференциалли тенгламалар тушунчаси.
  
• 
  Интегралловчи кўпайтувчи ҳақида тушунча.
  

Бизга
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1)

кўринишидаги тенглама берилган бўлсин. Бунда M(x,y), N(x,y) функциялар бирор D тўпламда аниқланган ва узлуксиз .

Агар (1) тенгламани чап томони бирор F(x,y) функцияни тўлиқ дифференциали бўлса, яoни
dF=M(x,y)dx+N(x,y)dy

у ҳолда (1) тенглама тўлиқ дифференциалли тенглама дейилади.

Фараз қилайлик (1) тенглама тўлиқ дифференциалли тенглама бўлсин, у ҳолда
M(x,y)dx+N(x,y)dy=dF=
тенглик ўринли. Бундан эса
=M(x,y), =N(x,y)
эканлиги келиб чиқади. Сўнги тенгликларни мос ҳолда y ва x бўйича дифференциаллаймиз
(3)
Математик анализ курсидан маoлумки аралаш ҳосилалар узлуксиз, у ҳолда ҳосила олиш тартибига боғлиқ бўлмайди. Шунинг учун (3)ни чап томонлари тенг бўлади. Демак, ўнг томонлари ҳам тенг
(4)
(4) шарт (1) тенгламани тўлиқ дифференциалли тенглама бўлиши учун зарурий ва етарли шарт бўлиб Эйлер-Даламбер шарти деб аталади.
(1) тенгламани интеграллаш қуйидагича амалга оширилади. (3)ни биринчи айниятини олиб x бўйича интеграллаймиз, яoни
=M(x,y)
(5)
x₀ – D соҳадан олинган бирор нуқта. Бундан y бўйича ҳосила оламиз

ёки M(x,y) функция аниқланган соҳа бир боғламли бўлганлиги учун ҳосила билан интеграл тартибини алмаштириш мумкин

(3)ни иккинчи тенглигидан фойдаланиб , ўрнига N(x,y) қўямиз

Бу ерда (4) тенгликдан фойдалансак ,

тенглик ўринли бўлади. Интеграллаб
N(x,y)-N(x₀,y)+ =N(x,y)
топамиз. Бундан эса
=N(x₀,y)
ёки интеграллаб
(6)
формулага эга бўламиз, c₁=const, (у) ни ифодасини (5) ифодага қўйиб,

кўринишда изланаётган функцияни топамиз. Бу формулада c₁=0 деб, қуйидаги кўринишда ёзамиз.
(7)
(7) ифода (1) тенгламанинг умумий интегралини ифодалайди.
ЭСЛАТМА: (3) тенгликни иккинчи тенглигини олиб у бўйича интеграллаб, юқоридаги ишларни бажарсак, у ҳолда умумий интеграл

кўринишда бўлади.
МИСОЛ: (x³+y)dx+(x-y)dy=0
M= x³+y, N= x-y, ,
(4) шарт бажарилди
F_x=M= x³+y, F_y=N= x-y
деб олсак, у ҳолда (7) формуладан фойдаланиб

интеграллаб қуйидагини топамиз.
ёки
Бу берилган тенгламанинг умумий интеграли.
Юқорида тўлиқ дифференциалли тенглама тўғрисида фикр юритдик, агар Эйлер-Даламбер шарти бажарилмаса, у ҳолда тенглама тўлиқ дифференциалли бўлмайди. Баъзи ҳолларда тенгламани тўлиқ дифференциалли тенгламага келтириш мумкин.
Агар (1) тенгламанинг чап томони тўлиқ дифференциалли бўлмаса шундай (x,y)0, (x,y)D функция топиш мумкинки, тенгламанинг чап томонини шу функцияга кўпайтирилса, тўлиқ дифференциалли тенглама ҳосил бўлади, яъни
dF=Mdx+Ndy (1)
Шундай хоссага эга бўлган (x,y) функцияга интегралловчи кўпайтувчи дейилади.
F(x,y) функцияга
M (x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2)
тенгламанинг интеграли дейилади
Фараз қилайлик, M ва N функциялар M_y,N_y ҳосилалари билан узлуксиз, у ҳолда Эйлер-Даламбер шартига кўра
(3)
тенглик ўринли, бундан кўринадики, М, N лар биринчи тартибли ҳосилалари билан узлуксиз. (3) ни ёйиб ёзасак.

ёки
(4)
кўринишга келади. Бу (x,y) функцияга нисбатан хусусий ҳосилали биринчи тартибли тенглама бўлиб, бу тенгламани ечиш осон эмас. Шунинг учун баoзи хусусий ҳолларини кўриб чиқамиз.
1-ҳол: =(x) бўлсин. У ҳолда (4) да бўлади ва

кўринишга эга бўлади. Бундан (N0 ) тенгликни оламиз.
эканлигидан фойдаланиб белгилаш киритсак,


ёки
тенгламага келамиз. Уни интеграллаб

ечимга эга бўламиз. c – ихтиёрий ўзгармас сон эканлигидан c= 1 деб олсак
(5)
интегралловчи кўпайтувчининг (5) кўринишига эга бўламиз.
(5) ни (2) га кўпайтирсак, тўла дифференциалли тенгламага келамиз.
2-ҳол: =(y) бўлсин, унда (4) тенглик

кўринишни олади. Бунда

белгилаш киритиб, 1-ҳолдаги каби фикр юритиб,

интегралловчи кўпайтувчи кўринишини оламиз.
3-ҳол: =(w(x,y)) кўринишда бўлсин. У ҳолда (4) тенглик

кўринишга келади. Сўнгги тенгликдан

ифодани ҳосил қилиб ва унг томонини (w) функция билан белгиласак,

кўринишдаги интегралловчи кўпайтувчини топамиз.
Хусусий ҳолда агар w(x,y)=xy бўлса:
а) га тенг
(бунда )
б) агар w(x,y)=x+y бўлса,

кўринишда бўлади, (бунда )
ЭСЛАТМА: (x,y) интегралловчи кўпайтувчини билган ҳолда умумий ва махсус ечимлар топилади. Ҳақиқатдан ҳам (2)тенглама берилган бўлиб, (x,y) унинг интегралловчи кўпайтувчиси бўлса
dF=Mdx+Ndy
тенглик ўринли, бундан
(Mdx+Ndy)=dF
ёки
(Mdx+Ndy)=
буни (3) тенгламага қўйсак, =0 тенгликка эга бўламиз, ҳамда
=0, dF=0 (6)
тенгликларга келамиз, (6)дан
F=c (c=const)
умумий интегрални ва =0 дан махсус ечимни олишимиз мумкин.

Адабиётлар

1.М.С.Салохитдинов, Г.Н.Насриддинов. Оддий дифференциал тенгламалар. Т. Ўқитувчи.1992й.

2. К.Б.Бойқўзиев . Дифференциал тенгламалар. Т.Ўқитувчи .1988й.
3.Матвеев Н.М. Методқ интегрирования обқкновеннқх дифферен-циалғнқх уравнений. Вқсшая школа. 1967г.