Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого и второго порядков

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН


КАРАКАЛПАКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ БЕРДАХА

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ОБЫКНОВЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ УРАВНЕНИИ
На Тему: «Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого и второго порядков»

СТУДЕНТ: ТУРСЫНБАЕВ РУСЛАН
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: ЕЛГОНДИЕВ КУАНЫШ
Введение

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость – производная от расстояния; аналогично, ускорение – производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения (ДУ) - это соотношения между независимыми переменными, искомыми функциями от этих переменных и производными или дифференциалами искомых функций.

ДУ разделяются на два класса:
а) обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

(1)

б) уравнения с частными производными (УЧП)

. (2)

Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в уравнение (1) или (2).
Проинтегрировать ДУ (1) и (2) - это значит найти соответственно такие функции и , при подстановке которых в уравнения (1) и (2) они обращаются в соответствующих областях в тождества.
Приведем примеры физических задач, приводящих к решению ДУ.
Пример. Согласно закону, установленному И.Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды. Пусть тело нагрето до температуры T0, а температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Tc0 коэффициент пропорциональности, и заметим, что функция T(t) убывающая. Применяя закон Ньютона, получаем ОДУ первого порядка
.

Полагая T(0)=T0, после интегрирования получим закон охлаждения в виде:

Пример. Материальная точка массы m свободно падает под действием силы тяжести Fт=mq. Обозначим через y(t) расстояние, пройденное точкой за время t, тогда согласно второму закону Ньютона получаем ОДУ 2-го порядка

.

Полагая после интегрирования получим закон движения материальной точки
ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Полагая в (1) введения n=1, получим ОДУ первого порядка, не разрешенное относительно производной

. (1)

Если (1) однозначно разрешимо относительно или , то уравнения
(2)

или

(3)

назовём ОДУ первого порядка, разрешенными относительно производных.

Учитывая, что , уравнения (2) и (3) можно записать в виде:

, (4)
, (5)

которые будем называть ОДУ первого порядка в дифференциалах.

Общий вид ОДУ первого порядка в дифференциалах будет

(6)

где функции M(x,y) и N(x,y) определены в некоторой открытой односвязной области , причем точки, в которых одновременно обращаются в нуль функции M(x,y) и N(x,y), называются особыми точками уравнения (6).


ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной

Рассмотрим уравнение

обыкновенный дифференциальный уравнение коши
(2)

где функция определена и непрерывна в области , причем областью в будем считать связное открытое множество, то есть: а) две любые точки этого множества G могут быть соединены ломаной, целиком принадлежащей G; б) любая точка M множества G содержится в G вместе с некоторой окрестностью точки M.

Определение 1. Решением ОДУ (2) на промежутке ПрxG называется функция удовлетворяющая условиям:

1)
2) ;

3)

Через будем обозначать связное множество на числовой оси, которое представляет собой один из промежутков:

Пример . Дифференциальное уравнение
(7)

имеет решениями на промежутке непрерывности функции все множество первообразных

(8)

где С - произвольная постоянная.
Из примера 1 следует, что ОДУ (2) может иметь бесчисленное множество решений, причем эта ситуация является общей. Для выделения конкретного решения необходимо задать дополнительные условия, выделяющие это решение из всего множества решений. Такими условиями являются начальные условия:

(9)

Числа называются начальными данными, а задача отыскания решения ОДУ (2), удовлетворяющего начальным условиям (9), называется задачей Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9).
Наряду с задачей Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) рас-смотрим интегральное уравнение

. (10)

Определение 2. Функция , определенная на промежутке , называется решением уравнения (10), если выполняются условия:
1) - непрерывна);
2)
3)

Теорема 1. Функция является решением задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения (10).

Доказательство. Пусть является решением задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9). Тогда выполняется условие 3) определения 1, причем Условия 1) и 2) определения 2 вытекают из условий 1) и 2) определения 1. Интегрируя тождество в 3) определения 1 в пределах от до , получаем условие 3) определения 2). Следовательно, является решением уравнения (10).
Пусть теперь является решением интегрального уравнения (10) на промежутке . В силу тождества в 3) определения 2 функция дифференцируема для и Это показывает, что для функции выполнены начальные условия (9) и условие 1) определения 1. Условие 2) определения 1 совпадает с условием 2) определения 2. Дифференцируя по x тождество в 3) определения 2, получим тождество в 3) определения 1. Отсюда следует, что функция является решением ОДУ (2) с начальными условиями (9). Теорема доказана.
Определение 3. Будем говорить, что решение задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) существует, если существует такой интервал и существует такое решение определенное на этом интервале и удовлетворяющее условию
Теорема 2. Если в уравнении (2) функция непре- рывна в области , то решение (хотя бы одно) задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) существует.
Определение 4. График решения уравнения (2) в плоскости XOY называется интегральной кривой ОДУ (2).
Рассмотрим пространство и сопоставим каждой точке из области G достаточно малый отрезок прямой с угловым коэффициентом проходящей через точку . Получившееся семейство отрезков в области G назовем полем направлений, определяемым ОДУ (2). Из определения решения и интегральной кривой ОДУ (2) следует, что кривая , лежащая в области G , тогда и только тогда является интегральной кривой этого уравнения, когда она гладкая и касательная в каждой её точке совпадает с направлением поля в этой точке. Отсюда получаем приближен-ный метод построения интегральных кривых ОДУ (2) в области G. Для удобства этого построения находят множество точек в области G с одинаковым наклоном поля.
Определение 5. Изоклиной ОДУ (2) в области G называется кривая, во всех точках которой направление поля, определяемого ОДУ (2), одинаково.
Из этого определения следует, что множество изоклин ОДУ (2) задается уравнением где С принимает допустимые вещественные значения. Построив сетку изоклин, мы можем приближенно построить интегральные кривые уравнения (2) в области G. Заметим еще, что изоклины и называются соответственно изоклинами нуля и бесконечности, то есть в точках первой направление поля параллельно оси OX, а в точках второй параллельно оси OY.
Пример. Приближенно построить интегральную кривую уравнения , проходящую через начало координат. Изоклинами этого уравнения будут окружности Полагая , получим окружности с направлением поля Используя эту сетку изоклин строим приближенно интегральную кривую. Заметим, что решения данного уравнения в виде интегралов найти невозможно, поэтому метод изоклин наиболее целесообразен.
Как видно из формулировки теоремы Пеано, она решает локальную задачу существования решения ОДУ (2), проходящего через точку Что же будет за пределами интервала ? Для решения этого вопроса введем понятие продолжения решений ОДУ (2).
Определение 6. Будем говорить, что решение ОДУ (2), определенное на промежутке ПрxG продолжимо вправо (влево), если существует решение этого уравнения, определенное на промежутке ПрxG, (ПрxG, ), сужение которого на совпадает с Решение ОДУ (2) называется в этом случае продолжением решения вправо (влево).
Теорема 3. Если решение ОДУ (2) определено на промежутке то оно продолжимо вправо (влево).
Доказательство. Покажем продолжимость вправо. Поставим задачу Коши для ОДУ (2) с начальными данными По теореме Пеано существует такой интервал ПрxG, в котором существует решение удовлетворяющее начальному условию Положим
Легко проверить, что является решением ОДУ (2) на промежутке а это означает, что решение , согласно определения 6, будет продолжимо вправо. Аналогично доказывается продолжимость влево. Теорема доказана.
Определение 7. Решение ОДУ (2) называется полным, если оно не продолжимо ни вправо, ни влево.
Из определения 7 и теоремы 3 следует, что областью определения полного решения всегда является открытый интервал ПрxG, называемый максимальным интервалом существования решения ОДУ (2).
Обратимся опять к теореме Пеано и заметим, что она утверждает существование хотя бы одного, а не обязательно единственного, решения задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9). Отсюда следует необходимость введения понятий точки и области единственности ОДУ (2).
Определение 8. Точка называется точкой единственности ОДУ (2), если существует такая -окрестность этой точки, что внутри через точку проходит одна и только одна интегральная кривая ОДУ (2).
Область , сплошь состоящую из точек единственности ОДУ (2), назовем областью единственности уравнения (2). Отсюда следует, что два любых решения ОДУ (2) из области D, совпадающие в некоторой точке, совпадают всюду в области D.
Определение 9. Точка называется точкой неединственности ОДУ (2), если в любой окрестности этой точки через неё проходит более одной интегральной кривой ОДУ (2).
Определение 10. Решение ОДУ (2) называется частным, если каждая точка, соответствующей этому решению интегральной кривой, является точкой единственности ОДУ (2).
Вся совокупность частных решений ОДУ (2) в области D называется общим решением уравнения (2) в этой области.
Определение 11. Функция где - произвольная постоянная, называется общим решением ОДУ (2) в области единственности D, если:
1) для любой точки уравнение однозначно разрешимо относительно С, то есть
2) функция является решением задачи Коши для ОДУ (2) с начальными данными
В общем случае, интегрируя ОДУ (2) в области , мы получим общее решение в неявном виде:

(11)

или

(12)

Определение 12. Общее решение ОДУ (2), записанное в форме (11) или (12), называется общим интегралом, а функция - интегралом ОДУ (2) в области D.
Основными свойствами интеграла ОДУ (2) являются:
1) интеграл сохраняет постоянное значение вдоль всякой интегральной кривой уравнения (2), расположенной в области D;
2) для всех имеет место тождество

(13)

Пример. Для уравнения функция является интегралом, а функция , где С- произвольная постоянная, общим решением в области .Самим проверить выполнимость свойств 1) и 2) интеграла в данном случае.
Теорема 4 (Коши-Пикара). Если функция непрерывна вместе со своей частной производной в области то существует, и при- том единственное, решение задачи Коши ОДУ (2) с начальными условиями, то есть существует единственная интегральная кривая уравнения (2), целиком принадлежащая области D, проходящая через точку
Определение 13. Решение ОДУ (2) называется особым, если каждая точка, соответствующей этому решению интегральной кривой, является точкой неединственности ОДУ (2). Интегральная кривая, соответствующая особому решению называется особой интегральной кривой ОДУ (2).
Из определений области единственности и особого решения следует, что особые решения могут быть лишь границей области D. Из теоремы Коши-Пикара следует, что в каждой точке особой интегральной кривой нарушается хотя бы одно из условий этой теоремы.
Пример. Уравнение имеет общее решение в областях и плоскости . При этом функция также является решением данного уравнения, однако она не получается из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной С. Так как в точках интегральной кривой производная не существует, то - особая интегральная кривая.
Построить эскиз расположения интегральных кривых на плоскости XOY и указать точки единственности и неединственности.
Рассмотрим однопараметрическое (C - параметр) семейство

(14)

гладких кривых сплошь заполняющих область и предположим, что функция дифференцируема по переменным x и y в этой области.
Поставим следующую задачу: cоставить ОДУ первого порядка в области D, для которого каждая кривая данного семейства будет интегральной кривой. Очевидно, что для решения поставленной задачи достаточно исключить параметр C из системы уравнений

. (15)
Пример . Пусть заданы семейства гладких кривых и где С - параметр. Построим соответствующие ОДУ первого порядка, исключая параметр С из систем

и .

Получим соответственно ОДУ и


Интегрирование простейших ОДУ первого порядка, разрешенных относительно производной

Определение 14. Если общие решения уравнений (2)-(6) удается найти в виде конечной комбинации операций интегрирования, то будем говорить, что решение найдено в квадратурах.

Заметим, что в некоторых случаях левая часть уравнения

(6)

является полным дифференциалом некоторой функции то есть

(16)

Тогда общим интегралом ОДУ (6) будет соотношение

(12)
где С - произвольная постоянная.

Если же при умножении обеих частей ОДУ (6) на некоторую функцию , непрерывную в области G непрерывности функций и левая часть полученного уравнения

(17)

обращается в полный дифференциал от некоторой функции , то соотношение

(18)

где С - произвольная постоянная, является общим интегралом ОДУ (6).


Уравнения с разделяющимися переменными

Общий вид ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными

, (19)

где функции и - непрерывны в промежутке а функции и - непрерывны в промежутке
Рассмотрим область . В этой области, кроме особых точек, в которых одновременно обращаютя в нуль функции и , уравнение (19) имеет в общем случае два вида решений:
1) , если и , (20)
если и (21)

2) рассмотрим область , в которой . Уравнение (19) в области D эквивалентно уравнению

, (22)

левая часть которого является полным дифференциалом функции

. (23)

Тогда общим интегралом ОДУ (19) в области D будет соотношение

(24)

где C - произвольная постоянная.
Таким образом, все множество решений ОДУ (19) состоит из решений (20), (21) и (24). Заметим, что среди решений (20) и (21) могут быть особые, причем интегральная прямая , будет особой интегральной прямой ОДУ (19), если и один из интегралов

, (25)
где достаточно мало, является сходящимся. Аналогично, интегральная прямая будет особой интегральной прямой ОДУ (19), если и один из интегралов

(26)

является сходящимся.
Другой метод нахождения особых решений для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной, связан с нарушением условий теоремы Коши-Пикара в точках исследуемых решений.
Укажем ещё один способ распознавания особых решений для ОДУ (19). Если решения (20) и (21) не получаются из (24) ни при каких частных числовых значениях С, то они являются особыми решениями ОДУ (19).
Решение задачи Коши для ОДУ (19) с начальными данными имеет вид:

(27)

Пример. Всё множество решений уравнения состоит из прямой и совокупности кривых , где С - произвольная постоянная. При решении вопроса будет ли интегральная прямая особой интегральной прямой обратимся к теореме Коши-Пикара. Так как функция и её производная непрерывны в области то прямая не является особой интегральной прямой.


Однородные ОДУ первого порядка

Уравнение

(6)

называется однородным, если функции и являются однородными функциями по переменным x и y одного и того же порядка , то есть
Подстановкой уравнение (6) приводится к уравнению с разделяющимися переменными

. (30)
Функции , где корни уравнения

, (31)

являются решениями уравнения (6), причем среди них могут содержаться особые. Особыми могут быть полуоси оси :

Заметим, что точка (0,0) является особой для ОДУ (6).
Уравнение

(31)
всегда приводится к однородному уравнению или к уравнению с разделяющимися переменными, причем:

a) если то ОДУ (31) - однородное;
б) если или и , то после линейной подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными;
в) если или и то система уравнений
имеет единственное решение Заменой ОДУ (31) приводится к однородному уравнению
Если уравнение (6) не является однородным, но после замены где обращается в уравнение
где функции и - однородные, то ОДУ (6) называется в этом случае обобщенным однородным уравнением.
Пример. Уравнение является обобщенным однородным уравнением, так как после замены оно обращается в уравнение
которое при будет однородным уравнением.


Линейные ОДУ первого порядка

Общий вид линейного ОДУ первого порядка

(32)

где функции - непрерывны на интервале и