Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого и второго порядков

Разделим обе части уравнения (32) на функцию и получим эквивалентное уравнение

(33)

где также непрерывны на
Умножая обе части ОДУ (33) на функцию получаем ОДУ

, (34)

интегрируя которое получаем общий интеграл

(35)

и общее решение
(36)

где С - произвольная постоянная.

Разрешая ОДУ (33) относительно производной и применяя теорему Коши-Пикара получаем, что уравнение (33) не имеет особых решений.
Пример . Линейное уравнение

, (37)

после умножения обеих частей на функцию преобразуется в уравнение
Отсюда получаем общее решение ОДУ (37)
где С - произвольная постоянная.
Некоторые ОДУ первого порядка становятся линейными, если x считать искомой функцией, а y - аргументом, то есть

(38)

где - непрерывные функции на интервале
Пример . Уравнение Я.Бернулли подстановкой преобразуется в линейное , общее решение которого имеет вид . Отсюда и из подстановки получаем общее решение искомого уравнения где С- произвольная постоянная.
Уравнение Я.Риккати

(43)

где - непрерывные в интервале функции, в общем случае не решается в квадратурах. Однако, если известно хотя бы одно его частное решение то заменой оно приводится к уравнению Я.Бернулли.


ОДУ первого порядка в полных дифференциалах

Определение 15. ОДУ первого порядка

, (6)

где функции - непрерывны в области а левая часть есть полный дифференциал некоторой дифференцируемой функции назовем ОДУ в полных дифференциалах. Общий интеграл этого уравнения задается соотношением
Поставим следующие вопросы: 1. Каким образом по виду уравнения (6) можно определить, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? 2. Как найти функцию ?
Ответы на эти вопросы дает следующая
Теорема 5. Уравнение (6), где - непрерывны в области тогда и только тогда будет ОДУ в полных дифференциалах, если для всех имеет место равенство

(44)

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть левая часть уравнения (6) является в области полным дифференциалом функции то есть имеет место тождество

(45)

Из тождества (45), в силу произвольности и , получаем тождества

(46)

дифференцируя которые соответственно по y и по x, получим

(47)

В силу непрерывности функций в области , из теоремы о равенстве смешанных производных получаем равенство (44).
Докажем вторую часть теоремы. Пусть в области выполняется равенство (44). Требуется показать, что существует такая функция полный дифференциал которой в области тождественно равен левой части уравнения (6), то есть имеют место тождества (46). Всё множество функций, удовлетворяющих первому тождеству в (46), дается формулой

(48)

где - произвольная дифференцируемая функция от y. Покажем, что можно выбрать так, чтобы выполнялось и второе тождество в (46), т.е.

(49)

Подставляя (48) в (49), получим

(50)

Отсюда следует, что можно найти, если правая часть в (50) не зависит от переменной x, то есть

. (51)

Преобразуя левую часть в (51), получим

(по условию (44) теоремы (5)) = 0.

Таким образом, функция с точностью до произвольной постоянной, имеет вид

(52)

Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства второй части теоремы 5 следует практический прием решения ОДУ в полных дифференциалах.
Пример. Уравнение является ОДУ в полных дифференциалах, так как в области Здесь По формуле (52) находим функцию
где - произвольная постоянная. Таким образом, общий интеграл искомого уравнения будет где - произвольная постоянная.
Теорема 6. Решение задачи Коши для ОДУ(6) в полных дифференциалах с начальными условиями где область D является областью непрерывности функций и в которой даётся одной из формул:

(53)
(54)

причем это решение единственно.

Заметим, что в точках, где одновременно обращаются в нуль функции и и называемых особыми для ОДУ (6), не гарантируется единственность решения задачи Коши.


Интегрирующий множитель

Рассмотрим уравнение (6) с непрерывными в области функциями , не являющееся уравнением в полных дифференциалах.

Определение 16. Если при умножении обеих частей ОДУ (6) на функцию , непрерывную вместе со своими частными производными и отличную от нуля в области , уравнение (6) обращается в ОДУ в полных дифференциалах, то есть для всех выполняется равенство
или

, (55)

то функцию назовем интегрирующим множителем ОДУ (6), а уравнение (55) - уравнением интегрирующего множителя.
Заметим, что решить уравнение (55) не легче, чем уравнение (6), поэтому рассмотрим случаи, когда интегрирующий множитель находится достаточно легко:
1) пусть , тогда уравнение (55) принимает вид
или

. (56)

Если правая часть в (56) зависит только от x, то есть
то из (56) интегрированием находим с точностью до мультипликативной постоянной

(57)

где - произвольная постоянная (обычно полагают ).
2) пусть , то из (55) получаем

. (58)

Если правая часть в (58) является функцией одного только y, то есть
то интегрируя (58) получаем

(59)

где - произвольная постоянная (для удобства обычно считают )
3) пусть , где - известная функция, непрерывная вместе со своими частными производными в области , тогда из (55) получаем
(60)

Если правая часть в (60) есть функция то

(61)

где - произвольная постоянная.
Выясним вопрос существования интегрирующего множителя в общем случае. Справедлива
Теорема 7. Если ОДУ (6) имеет в области единственности общий интеграл

(62)

где функция непрерывна в области вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, то уравнение (6) имеет интегрирующий множитель.
Доказательство. Так как (62) суть общий интеграл ОДУ (6), то для всех справедливо тождество

. (63)

Предположим, что в области тогда из (63) получаем интегрирующий множитель в виде

(64)

Действительно, умножая обе части ОДУ (6) на функцию (64), получим
то есть функция (64) является интегрирующим множителем ОДУ (6). Теорема доказана.
Следствие. Из теоремы 7 следует, что каждому интегрирующему множителю ОДУ (6) соответствует, с точностью до аддитивной постоянной, интеграл этого уравнения.
Из уравнения интегрирующего множителя (55) видно, что интегрирующих множителей бесчисленное множество, если есть хотя бы один ), отличный от тождественной постоянной, например, где постоянное число Исчерпывается ли этой совокупностью все множество интегрирующих множителей уравнения (6) ? Как найти все множество интегрирующих множителей, если известен хотя бы один ? Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы.
Теорема 8. Если - интегрирующий множитель ОДУ (6), а - соответствующий ему первый интеграл этого уравнения, то функция

(65)

где - произвольная дифференцируемая функция, тоже будет интегрирующим множителем уравнения (6).
Доказательство. Умножим левую часть ОДУ (6) на функцию (65)

.

Отсюда и из определения 16 следует утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 9. Если - интегрирующий множитель ОДУ (6), а - соответствующий интеграл уравнения (6), то всякий интегрирующий множитель этого уравнения находится по формуле

, (66)

где - произвольная дифференцируемая функция.
Доказательство. Пусть - какой-нибудь интегрирующий множитель ОДУ (6), а - соответствующий ему интеграл. Тогда имеем равенства

, (67)

из которых получаем

,
.

Поделим почленно равенства первой строки на соответствующие равенства второй строки, получим
Таким образом, якобиан функций и тождественно равен нулю. Отсюда, согласно теореме из анализа о зависимости функций, между этими функциями существует функциональная зависимость

(68)

где - дважды непрерывно дифференцируемая функция. Поделим почленно второе равенство в (67) на первое, получим

(69)

Дифференцируя (68) и подставляя в (69), будем иметь
что и требовалось доказать.
Следствие. Если и - два различных интегрирующих множителя ОДУ (6), отношение которых не равно тождественно постоянной, то выражение
(70)

где - произвольная постоянная, является общим интегралом ОДУ (6).

Пример. Функцииявляются интегрирующими множителями уравнения , причем их отношение не равно тождественно постоянной. Таким образом, выражение
где - произвольная постоянная, является общим интегралом данного уравнения.


Доказательство теоремы Коши-Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной

Рассмотрим уравнение

(2)

где функция - непрерывна в некоторой односвязной открытой области , и поставим для него задачу Коши с начальными условиями

(9)

Теорема 10 (Коши-Пикара). Если функция - непрерывна в прямоугольнике

(71)

вместе со своей частной производной , то существует такое :

(72)

где

(73)

что на отрезке существует единственное решение задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9), удовлетворяющее на этом отрезке неравенству

. (74)

Замечание. Утверждение теоремы 10 остается справедливым, если предположить непрерывность функции и выполнение условия Липшица по переменной y в прямоугольнике П, то есть

(75)
где >0 - постоянное число. При этом .

Доказательство. Введем дополнительные понятия, необходимые для дальнейших рассуждений.
Определение 17. Пространство называется метрическим, если в нём введена метрика , называемая расстоянием между любыми двумя элементами x и y этого пространства, удовлетворяющая трём аксиомам метрики

1) и
2)

3)

Лемма 1. Пространство , непрерывных на отрезке функций с метрикой

, (76)

образует метрическое пространство.
В самом деле, достаточно проверить выполнимость трех аксиом метрики.
Определение 18. Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность элементов этого пространства сходится к элементу из
Лемма 2. Пространство с метрикой (76) - полное.
Доказательство. Рассмотрим любую фундаментальную последовательность функций , непрерывных на отрезке , то есть такую, что

, (77)

где метрика имеет вид (76). Зафиксируем тогда получим числовую последовательность , удовлетворяющую критерию Коши

, (78)

а значит являющуюся сходящейся к вещественному числу, которое мы обозначим через , то есть

.

Переходя в последнем неравенстве в (78) к пределу при , получаем

,

то есть
.

Отсюда следует, что последовательность сходится равномерно к на отрезке Так как функции непрерывны на то предельная функция также непрерывна на то есть . Лемма 2 доказана.

Пусть в полном метрическом пространстве задан операторотображающий пространство в себя, то есть

.

Определение 19. Оператор будем называть сжимающим, если

.

В дальнейшем элементы пространства будем называть точками этого пространства.
Определение 20. Точка пространства называется неподвижной точкой оператора , отображающего пространство в себя, если .
Определение 21. Оператор называется непрерывным в точке если

Очевидно, что сжимающий оператор всегда непрерывен в любой точке

В самом деле, если при то, в силу неравенства , последовательность при
Лемма 3 (принцип сжимающих отображений). Если сжимающий оператор отображает полное метрическое пространство в себя, то существует единственная неподвижная точка этого оператора.
Доказательство. Покажем сначала, что двух различных неподвижных точек быть не может. В самом деле, если допустить существование двух различных неподвижных точек и оператора то есть и , то , где Если предположить, что то получаем что противоречит условию сжимаемости оператора Отсюда получаем , что равносильно равенству . Итак, показали единственность неподвижной точки оператора
Докажем теперь существование неподвижной точки. Пусть - любая точка из пространства Составим последовательность элементов из

, (79)

которую назовём итерационной последовательностью, порожденной оператором Покажем, что эта последовательность является фундаментальной.
Сначала оценим

(80)

а затем воспользуемся неравенством треугольника, считая
Таким образом, при достаточно большом получаем, что
то есть итерационная последовательность фундаментальная. Так как пространство - полное метрическое пространство, то эта последовательность (79) сходится к некоторому элементу этого пространства, то есть
Покажем, что - неподвижная точка оператора В самом деле,

при
Таким образом, . Лемма 3 доказана.

Замечание. Если - неподвижная точка оператора , то можно оценить абсолютную погрешность приближенного значения а именно:

(81)

С другой стороны имеет место неравенство
из которого получаем еще одну оценку абсолютной погрешности

(82)

В силу эквивалентности задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) и задачи нахождения решения интегрального уравнения

(10)

будем рассматривать последнюю задачу.
Обозначим через - множество функций непрерывных на отрезке где и удовлетворяющих на нём неравенству

(83)

Введем в этом множестве метрику

, (84)

где и - любые элементы из множества . Очевидно, что все аксиомы метрики выполняются и мы получим, что - метрическое пространство.
Покажем, что - полное метрическое пространство. В самом деле, если последовательность функций , является фундаментальной, в смысле метрики (84), то из леммы 2 следует, что она сходится равномерно на отрезке к некоторой непрерывной функции Для функций выполняются неравенства

. (85)

Переходя в (85) к пределу при и учитывая, что , получаем
,

то есть . Это и доказывает полноту пространства .

Рассмотрим оператор вида

, (86)

который приводит в соответствие каждой функции некоторую функцию . В самом деле, если , то есть функция - непрерывна и её график принадлежит прямоугольнику

,

то, в силу непрерывности функции в прямоугольнике , правая часть в (86) также непрерывная функция в промежутке . Составим и оценим модуль разности

.

Таким образом, .
Покажем, что оператор , задаваемый формулой (86), является сжимающим. Действительно, если и - две любые функции из , а и - их образы из , то составляя модуль разности и учитывая условия теоремы Коши-Пикара, получаем

,

где . Отсюда и из леммы 3 следует, что в пространстве , с введенной метрикой (84), существует единственная неподвижная точка
оператора определяемого формулой (86). Полученная функция будет единственным решением интегрального уравнения (10), а значит и единственным решением задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9). Теорема Коши-Пикара доказана.
Следствие. Из доказательства теоремы Коши-Пикара следует метод нахождения приближенного решения задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9), а именно

,

и абсолютной погрешности

.

Заключение

Двойное векторное произведение играют существенную роль и в других науках, таких, как Физика, электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.

Список использованной литературы

1. 
   Гутер Р.С. Дифференциальные уравнения / Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский. – М.: Физматгиз, 1962.
   
2. 
   Ильин В.А. Основы математического анализа: В 2 ч. / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: Наука, 1986.
   
3. 
   Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. – М.: Наука, 1974.
   
4. 
   Никольский С.М. Курс математического анализа / С.М. Никольский. Т.2. – М.: Наука, 1975.
   
5. 
   Смирнов В.И. Курс высшей математики / В.И. Смирнов. Т.5. – М.: Наука, 1959.
   
6. 
   Фрейман Л.С. Теоремы существования / Л.С. Фрейман. – М.: Наука, 1971.
   
7. 
   Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Наука, 1969.