Тема: Определения точного интеграла (интеграла Римана). Класс функций, имеющих определенные интегралы и интегрируемых. Свойства интеграла и вычисление

Тема: Определения точного интеграла (интеграла Римана). Класс функций, имеющих определенные интегралы и интегрируемых. Свойства интеграла и вычисление

Определение:


Пусть есть отрезок [a,b][a,b] и некоторое τ:a=x0разбиением отрезка [a,b][a,b]).


Определение:
Δk=xk+1−xkΔk=xk+1−xk длина текущего отрезка разбиения.

Определение:
rangτ=max{Δ0,Δ1,…,Δn−1}


Определение:
Пусть xk¯¯¯¯¯xk¯ — произвольное xx из [xk,xk+1][xk,xk+1], ff — функция, заданная на отрезке [a;b][a;b], ττ — разбиение отрезка [a;b][a;b].
Тогда σ(f,τ,{xk¯¯¯¯¯})σ(f,τ,{xk¯}) (также обозначается как σ(f,τ)σ(f,τ) или σ(τ)σ(τ))  =∑k=0n−1 =∑k=0n−1 f(xk¯¯¯¯¯)⋅Δkf(xk¯)⋅Δk
называется интегральной суммой Римана по разбиению ττ.
I=limrangτ→0σ(f,τ)I=limrang⁡τ→0σ(f,τ) ⟺def⟺def ∀ε>0 ∃δ>0 ∀τ:rangτ<δ⇒|σ(f,τ)−I|<ε


Определение:
Определённым интегралом Римана функции ff называется предел её интегральных сумм, коротко записывается как ∫abf(x)dx=∫abf
Факт существования интеграла функции ff обозначается как f∈R(a,b)


Утверждение:
Если f∈R(a,b)f∈R(a,b), то ff — ограничена.
Пусть ∃I=limσ(f,τ), ε=1∃I=limσ(f,τ), ε=1. Делим [a,b][a,b] на nn разных частей, так, чтобы b−an<δb−an<δ и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков xnxn берём один из них: [xk0,xk0+1][xk0,xk0+1] и варьируем xk0¯¯¯¯¯¯¯xk0¯ в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу. I−1−∑k=0,k≠k0n−1f(xk)⋅ΔkПроделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.
Любая функция, ограниченная и непрерывная в некотором промежутке, является интегрируемой на этом промежутке. К классу интегрируемых функций относятся также функции, ограниченные на промежутке интегрирования и имеющие на этом промежутке конечное число точек разрыва первого рода.
Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция c f(x), где c – константа, интегрируема на этом промежутке.
Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция | f(x) | интегрируема на этом промежутке.
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на промежутке [a,b], то и их сумма, разность и произведение интегрируемы на этом промежутке.
Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка.
Если функция f(x) интегрируема в каждой части некоторого промежутка, то она интегрируема и на всем промежутке.
Если значения интегрируемой функции изменить в конечном числе точек на конечные величины, то интегрируемость функции не нарушится.
Применительно к функции f(x) , которая не определена в конечном числе точек промежутка [a,b], это означает, что ни существование интеграла , ни его величина не зависят от значений, приписанных функции f(x) в точках ее разрыва.
Своеобразие предельного перехода в определении интеграла может привести к убеждению, что определенный интеграл существует лишь в исключительных случаях. Ниже приведен ряд утверждений, показывающий, что класс интегрируемых функций достаточно богат и охватывает широкий круг функций, используемых в практических задачах.
Теорема 2.5. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b ], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема 2.6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b ]то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема 2.7. Если функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a,b ]то она интегрируема этом отрезке.
Теорема 2.8. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a,b ]и непрерывна во всех точках этого отрезка, за исключением конечного числа точек, где функция имеет разрыв первого рода, то эта функция интегрируема на отрезке [a,b ].
Теорема 2.9. Если интегрируемую на [a,b ] функцию изменить в конечном числе точек, то получится интегрируемая функция с тем же интегралом. В качестве функции, которая не является интегрируемой по Риману можно привести функцию Дирихле на отрезке [0;1]
Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

4. Если функция y = f(x) интегрируема на [a, b] и a < b < c, то

5. (теорема о среднем). Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка , такая, что