Sirt va yopishma paraboloidning birinchi va ikkinchi kvadratik formalari

Egrilik indikatrisasi. Eyler formulasi qo`shma turlar

Reja:

1. 
   Sirt va yopishma paraboloidning birinchi va ikkinchi kvadratik formalari.
   
2. 
   Egrilik indikatrisasi bilan normal egrilik orasidagi bog`lanish.
   
3. 
   Eyler formulasi.
   
4. 
   Qo`shma turlar.
   

Sirt ustidagi 0 nuqtani koordinata boshi va bu nuqtadagi urinma tekislikni (ху) tekisligi sifatida qabul qilamiz. U xolda bizga ma‘lumki, 0 nuqta atrofida sirt tenglamasi

z= (f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)+(x,y)(x²+y²)

ko`rinishda bo`ladi.

Yopishma paraboloid tenglamasi esa

z= (f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)

va Dyupen indikatrisasi

(f_xxx²+2f_xyxy+f_yyy²)=1

ko`rinishda bo`ladi.

Yuqoridagi tenglamalardan shu narsa ko`rinadiki, sirt va uning yopishma paraboloidining 0 nuqtadagi birinchi va ikkinchi kvadratik formulalari bir xil, ya‘ni

ds²=dx²+dy²

=f_xxdx²+2f_xydxdy+f_yydy²

bu yerda  orqali 2-kvadratik formani belgiladik.

Bundan sirt va uning yopishma paraboloidining bir xil yo`nalishdagi normal egriliklari o`zaro teng, yani

k_n= (1)

Endi Dyupen indikatrisasini ko`ramiz. Q(x,y) indikatrisaning ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin. 0Q yo`nalish bo`yicha X,Y koordinatalarga bog`lik bo`lgan normal egrilik uchun ifodani topamiz. (1) tenglikda dx:dy=x:y ekanini eotiborga olib x va y o`zgaruvchilarga o`tamiz, yani

k_n= (2)

Q nuqta indikatrisada yotgani uchun (2) tenglikning surati 1 ga teng. Maxraji esa 0Q² ga teng. Bundan

k_n=  (3)

(3) Formula indikatrisa bilan normal egrilik orasidagi bog`lanishni ifodalaydi.

Shuningdek (3) dan foydalanib quyidagi ikkita muhim xulosani qilamiz;

1) Asimptotik yo`nalish bo`yicha sirtning normal egriligi 0 ga teng;

2) Sirtning normal egriligi bosh yo`nalishlar bo`yicha o`zining ekstremal qiymatlariga erishadi.

Endi х va у o`qlarning yo`nalishlari sifatida sirtning bosh yo`nalishlarini olamiz. U xolda bizga ma‘lumki, f<sub>xy</sub>=0 bo`ladi.

(1) tenglik quyidagi ko`rinishni oladi:

k_n=f_xx +f_yy

Oxirgi tenglikda dy=0 deb, k'_n=f_xx ni dx=0 деб f_yy=k"_n ni topamiz.
=соs, =sin

belgilashni kiritib,

k_n=k'_ncоs+k"_nsin (4)

Formulani olamiz. Bu yerda k'_n ва k"_n lar bosh yo`nalishlar bo`yicha olingan normal egriliklar (4) Formula Eyler formulasi deb yuritiladi.

Yuqorida ko`rib o`tilgan sirt qo`shma yo`nalishlar tushunchasi Dyupen indikatrisasi bilan bog`likdir. Shu munosabat bilan sirtning u,v parametrlari bilan uzviy bog`langan qiyshiq burchakli x,y,z koordinat sistemasida sistemasida yopishma paraboloid va Dyupen indikatrisasining tenglamalarini topamiz. Shuning uchun o`qlar bo`yicha bazis vektorlar sifatida r_u, r_v ва n vektorlarni olamiz. Aytaylik, sirtning 0 nuqtasiga parametrlarning u=u₀, v=v₀ qiymatlari mos kelsin. Sirt tenglamasini 0 nuqta atrofida quyidagicha yozishimiz mumkin, yani

r=r_u(u-u₀)+r_v(v-v₀)+ r_uu(u-u₀)²+2r_uv(u-u₀)(v-v₀)+ r_vv(v-v₀)²+

+(u,v)[(u-u₀)²+(v-v₀)²]

Shu narsani aytish mumkinki, tenglamasi

z= (Lx²+2Mxy+Ny²)

bo`lgan paraboloid sirtning 0 nuqtasidagi yopishma paraboloiddan iborat bo`ladi. Xaqiqatan xam, uni quyidagi

x=(u-u₀)

y=(v-v₀)

z= (L(u-u₀)²+2M(u-u₀)(v-v₀)+N(v-v₀)²)

parametrik tenglama bilan berish mumkin.

Sirt bilan bu paraboloidning 0 nuqtasidagi 1-va2- kvadratik formalari bir xildir, shuningdek ularning normal egriliklari xam bir xildir.

Yopishma paraboloid tenglamasidan Dyupen indikatrisasining tenglamasini olishimiz mumkin, yani

Lx²+2Mxy+Ny²=1

Ma‘lumki, dx:dy yo`nalish bilan x:y yo`nalishlarning bu egri chiziqqa nisbatan qo`shma yo`nalishlari bo`lish sharti

Ldxx+2M(dxy+dyx)+Ndyy=0

Tenglik bilan ifodalanadi.

0 nuqtada dx=du, dy=dv, x=u, y=v bo`lgani uchun oxirgi tenglik

Lduu+2M(duv+dvu)+Ndvv=0

ko`rinishni oladi.

Ta‘rif. Agar koordinat chiziqlarning xar bir nuqtasidagi yo`nalishi qo`shma yo`nalishlar bo`lsa, u,v koordinat turi qo`shma deyiladi.

Ta‘rifdan agar koordinat turi qo`shma bo`lsa, М=0 bo`ladi va aksincha М=0 bo`lsa, koordinat turi qo`shma bo`ladi.