Runge Kutta usulida misollar yechish

Runge Kutta usulida misollar yechish

Runge-Kutta 4-tartib usuli bu shaklning oddiy differentsial tenglamasini echish uchun ishlatiladigan sonli usul

Shunday qilib, birinchi darajali oddiy differentsial tenglamalarni Runge-Kutta 4-tartib usuli yordamida echish mumkin. Boshqa bo'limlarda biz Eyler va Runge-Kutta usullaridan yuqori tartibli oddiy differentsial tenglamalarni yoki bog'langan (bir vaqtning o'zida) differentsial tenglamalarni echishda qanday foydalanilishini muhokama qilamiz.

Birinchi tartibli differentsial tenglama yuqoridagi shaklda qanday yoziladi?

1-misol

Yechish:

Bu holda

2-misol

Yechish: dan

ko’rinishi.
Demak

Ushbu holatda

Runge-Kutta 4-tartib usuli quyidagilarga asoslanadi

(1)

qaerda qiymatini bilish va , ning qiymatini topishimiz mumkin bu , va

Tenglama (1) Teylor seriyasining dastlabki beshta hadiga tenglashtiriladi (2)

Buni bilish va

(3)

Tenglama (2) va (3) tenglamaga asoslanib, mazkur echimlardan biri hisoblanadi (4)

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

3-misol

1200 K gacha bo'lgan sharni havoda 300 K haroratda sovitishga ruxsat beriladi, faqat radiatsiya tufayli issiqlik yo'qoladi deb hisoblasak, sharning harorati uchun differentsial tenglama berilgan.

qayerda K va soniyalarda. Haroratni toping Runge-Kutta 4-tartib usuli yordamida soniya. Qadam o'lchamini taxmin qiling soniya.

Yechish:

For , ,

da taxminan harorat

Uchun

da taxminan harorat

1-rasmda Runge-Kutta 4-tartibli usul yordamida turli xil qadam o'lchamlari bilan aniq echimni raqamli eritma bilan taqqoslash mumkin.

1-rasm Runge-Kutta 4-tartib usulini taqqoslash har xil qadam o'lchamlari uchun aniq echim bilan.

1-jadval va 2-rasm qadam o'lchamining hisoblangan harorat qiymatiga ta'sirini ko'rsatadi sekundda.

Jadval 1 Vaqtdagi haroratning qiymati, s har xil qadam o'lchamlari uchun

Qadam uzunligi ,
480 240 120 60 30	-90.278 594.91 646.16 647.54 647.57	737.85 52.660 1.4122 0.033626 0.00086900	113.94 8.1319 0.21807 0.0051926 0.00013419

Shakl 2 Runge-Kutta 4-tartib usulida qadam o'lchamining ta'siri.
3-rasmda biz aniq natijalarni Eyler usuli bilan (Runge-Kutta 1-tartib usuli), Xen usuli (Runge-Kutta 2-tartib usuli) va Runge-Kutta 4-tartib usuli bilan taqqoslaymiz.

Ushbu bobda tasvirlangan formula Runge tomonidan ishlab chiqilgan. Ushbu formula Simpsonnikiga o'xshaydi 1/3 qoida, agar ning funktsiyasi edi . Ikkinchi tartib usullarining bir nechta versiyalari kabi to'rtinchi tartib usulining boshqa versiyalari ham mavjud. Kutta tomonidan ishlab chiqilgan formula

(6)

Ya’ni

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

Ushbu formula Simpsonning 3/8 qoidasi bilan bir xil, agar ning funktsiyasi .

Figur 3-rasm. Runge-Kutta usullarini 1 (Eyler), 2 va 4-tartibdagi taqqoslash. Runge kutta usulida yechilgan mamalaning xususiy yechimi.