Reja: Fazoda analitik geometriya elementlari. Fazoda tekislik

Aylanish parabolooidi va giperboloidi bilan tekislik hamda to'g'ri chiziqlarni aniqlash
Reja:

1. 
   Fazoda analitik geometriya elementlari. Fazoda tekislik
   
2. 
   Giperbola va uning kanonik tenglamasi
   
3. 
   Parabola va uning kanonik tenglamasi
   

4.Aylanish parabolooidi va giperboloidi bilan tekislik hamda to'g'ri chiziqlarni aniqlash

Chiziq tenglamasi koordinatalar sistemasining joylashishiga qarab turli ko`rinishda bo`lishi mumkin. Koordinatalarni almashtirish yordamida chiziqning ixtiyoriy shakldagi tenglamasini sodda (kanonik) ko`rinishga keltirish mumkin.

Ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy ko`rinishdagi tenglamasi deb,
Ax<sup>2</sup> + 2Bxy + Cy<sup>2</sup> + 2Dx + 2Ey + F = 0 (A<sup>2</sup> + B<sup>2</sup> + C<sup>2</sup> ≠ 0)
shakldagi tenglamaga aytiladi.
O`rta maktab matematikasida o`rganilgan aylana ikkinchi tartibli egri chiziqlar jumlasiga kiradi. Buning tasdig`i sifatida aylanaga berilgan ta`rifni va uning sodda tenglamasini eslash kifoya. Tekislikda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lib, koordinatalar tekisligida markaz deb ataluvchi M₀(a; b) nuqtadan teng radius deb ataluvchi R masofada yotuvchi nuqtalar to`plami (geometrik o`rni) bo`lmish aylana quyidagi
(x – a)² + (y – b)² = R²
tenglama bilan aniqlanadi (1–rasm ).


Parabola va uning kanonik tenglamasi

Tekislikda fokusi deb ataluvchi berilgan F nuqtadan va direktrisasi deb ataluvchi berilgan DD to`g`ri chiziqdan teng masofada yotuvchi nuqtalar tuplamiga parabola deyiladi.

Abssissa o`qi F fokus nuqtadan DD direktrisaga perpendikulyar ravishda o`tuvchi, ordinata o`qi esa fokus va direktrisalarning o`rtasidan o`tuvchi koordinatalar sistemasi tanlasak, parabola tenglamasi quyidagi kanonik ko`rinishni oladi
y² = 2 P x,
bu yerda, P – fokus va direktrisa orasidagi masofa.
Direktrisa tenglamasi , fokus esa F( ; 0 ) (6 – rasm).
Koordinatalar boshi parabola uchi, abssissa o`qi esa uning simmetriya o`qidir. Parabola ekstsentrisiteti ε = 1.
Agar ordinata o`qi parabola simmetriya o`qi bo`lsa, u holda uning tenglamasi x<sup>2</sup>  = 2 P y  (P>0) ko`rinishda bo`lib, direktrisa tenglamasi va fokusi F(0; ) nuqtadir.
Uchi (x<sub>0</sub>; y<sub>0</sub>) nuqtada, simmetriya o`qlari koordinata o`qlaridan biriga parallel parabola quyidagi tenglamalar bilan aniqlanadi:
(y–y<sub>0</sub>)<sup>2</sup> = 2P(x–x<sub>0</sub>) yoki (x–x<sub>0</sub>)<sup>2</sup> = 2 P(y–y<sub>0</sub>).
Masala. 0y ordinata o`qiga va x² + y² = 4 aylanaga urinuvchi aylanalar markazlari to`plami tenglamasini tuzing.
M(x; y) – aylanalar markazlari to`plamining ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin. Masala shartiga binoan KM = AM (7-rasm). Berilgan aylana radiusi 0K=2 ekanligini va KM = 0M – 0K tenglikni hisobga olsak, koordinatalarda quyidagi tenglamani olamiz:

x² + y² - 2 = |x| yoki y ² = 4 |x| + 4.

Ushbu tenglama uchlari (-1; 0) va (1; 0) nuqtalarda, fokuslari koordinatalar boshida, direktrisalari mos ravishda x = -2 va x = 2 to`g`ri chiziqlardan iborat, abssissa o`qi simmetriya o`qi bo`lgan parabolalarni ifodalaydi (7-rasm).